Bestimmen Sie ein komplexes Fundamentalsystem und daraus die allgemeine Lösung

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgendes DGL-System:

y₁'(x)=y₁(x)+y₂(x)

y1'(x)=-2y₁(x)+3y₂(x)

auf dem Intervall (0,inf) mit den AW y₁(0) = 3, y₂(0)=5.

a) Bestimmen Sie ein komplexes Fundamentalsystem und daraus die allgemeine Lösung

b)Bestimmen Sie ein reeles Fundamentalsystem und die allgemeine reele Lösung

c)Bestimmen Sie diejenige Lösung, welche zu den gegeben Anfangswerten passt.

Mein Ansatz:

a) EW bestimmen und aus den EV dann ein Fundamentalsystem bilden und überprüfen, ob die Wronski-Determinante ungleich 0 ist.

Mein Fundamentalsystem lautet : \( \begin{pmatrix} (1-i)/2 & (1+i)/2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Die allgemeine Lösung: y(x) = c₁*((1-i)/2, 1)+ c1*((1+i)/2, 1)

b) Hier hab ich mit dem Ansatz y(x)=e^λ_1*t*x₁ gearbeitet. Mein λ=2+i mit x₁=(1-i)/2, 1)

Hier komme ich auf y(t) = c₁*e^2t\( \begin{pmatrix} 1/2(cos(t)+sin(t)) \\ cos(t) \end{pmatrix} \) als allgemeine reele Lösung. Aber was ist dann mein reeles Fundamentalsystem?

c) Hier habe ich den Ansatz y(t) = c1*e^(lamda1*t)*x1+c2*e^(lamda2*t)*x2 gewählt

Mein Ergebnis lautet: y(t) = (9/2-5/2i)e^((2+i)t)*\( \begin{pmatrix} (1-i)/2 \\ 1 \end{pmatrix} \)+ (9/2+5/2i)e^((2-i)t)*\( \begin{pmatrix} (1+i)/2 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Genrell frage ich mich, ob meine Ansätze richtig sind oder ob es einen einfacheren Weg gibt?

Answer 1

Hallo

mit y meinst du den Vektor (y1(x),y2(x))^T

als  Lösung gibst du ein paar komplexer Zahlen??

und 2 gleiche Konstanten c1 ?

reelle Lösung e^t*[(c1 (1/2cos(x),cos),c2(1/2sin(x),cos(x))

lul

Comments

Hallo lul,

ja y müsste Vektor (y1(x),y2(x))T entsprechen.

Wie kommst du auf die reele Lösung? Ich habe mich an dem Video

orientiert. Anschließend habe ich nur den reelen Teil der Lösung betrachtet.

Answer 2

Hallo,

....................................

oder ob es einen einfacheren Weg gibt? Ja, den gibt es.(oder anderen)

Der ist ohne Eigenwerte und Eigenvektoren, will der Prof. aber bestimmt nicht :)

y1'= y1+y2

y2= y1' -y1

y2'= y1'' -y1'  (1 Mal differenzieren)

einsetzen in:

y2'= -2 y1 +3 y2

y1'' -y1' = -2y1 +3(y1' -y1)

y1'' -y1' = -2y1 +3y1' -3y1

y1'' -y1' +2y1 -3y1' +3y1=0

y1'' -4y1' +5y1=0

-->k^2-4k+5=0

k1,2= 2± i

----->

y₁= C₁ e^((2+i) x) + C₂ e^((2-i) x)

y₁₌C₁ e^(2x) cos(x) +C₂ e^(2x) sin(x)

y₂= 1/a₁₂ (y₁' -a₁₁ *y₁) allgemein

y₂=C₁ e^(2x)(cos(x) -sin(x)) +C₂ e^(2x)(sin(x)+cos(x))