Begründen Sie Ihre Entscheidung, ob die Abbildungen linear sind oder nicht

Question

Aufgabe:

(a) Entscheiden Sie für die nachfolgenden Abbildungen jeweils, ob diese linear sind oder nicht. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
i) \( f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto\left(\frac{x+y}{2}, \frac{x-y}{2}\right) \)
iii) \( f_{3}: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R}), p \mapsto 1-p+p^{2} \)
ii) \( f_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, x \mapsto(1,1+x, 1-x) \)
iv) \( f_{4}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{5}, x \mapsto(0,0,0,0,0) \)

(b) Geben Sie ein Beispiel an für eine nicht lineare Abbildung \( f: V \rightarrow W \) zwischen zwei \( \mathbb{F} \)-Vektorräumen \( V \) und \( W \), die \( f\left(v+v^{\prime}\right)=f(v)+f\left(v^{\prime}\right) \) für alle \( v, v^{\prime} \in V \) erfült. Begründen Sie Ihre Wahl.

Answer 1

a) i) ist linear; denn

1. Für alle \( (x, y),(a,b)  \in  \mathbb{R}^{2} \) gilt f1(x+a,y+b) = f1(x,y) + f1(a,b) .

Kannst du einfach anhand der Def. von f1 vorrechnen.

2. Für alle \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \)  und a∈ℝ gilt f1((ax,ay)) = af1(x,y)

Rechnest du auch einfach nach.

ii) Nicht linear, weil z.B. für das Polynom p(x)=x   f3(2x) nicht gleich 2f3(x) ist.

iii) wie bei ii) vergleiche  f2(2x) mit 2f2(x).

iv) hier ist es linear.

Comments

Wie genau rechne ich das denn?

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Wenn du z.B. f1(x+a,y+b) berechnen willst,

musst du einfach bei der Definition

\( (x, y) \mapsto\left(\frac{x+y}{2}, \frac{x-y}{2}\right) \)

anstelle von x einfach (x+a) einsetzen etc.

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Wäre also hier (\( \frac{x+a+y}{2} \),\( \frac{x-y+b}{2} \))?

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Nein, bei der 2. Komponente nat. auch

Wäre also hier (\( \frac{x+a+y+b}{2} \),\( \frac{x+a-(y+b)}{2} \))

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Und wie wäre es dann weiter?

Answer 2

\(f_2\) und \(f_3\) sind nicht linear; denn sie

bilden nicht das Null-Element auf das Null-Element ab.

Comments

Wie meinst du das?

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\(f_2(0)=(1,1,1)\neq (0,0,0)\) und

\(f_3(0)=1-0+0^2=1\neq 0\).

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Also quasi für x=0 und p=0 und wenn es dann ≠0 ist, dann ist es nicht linear abhängig?

Und das kann ich immer machen, wenn man nur eine variabel hat?

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dann ist es nicht linear abhängig?

Ich habe nicht von "linear abhängig", sondern von "linear"
gesprochen. Wenn eine Abbildung nicht das
neutrale Element auf das neutrale Element abbildet,
ist sie nicht linear.
Doch Vorsicht! Eine Abbildung, die das neutrale
Element auf das neutrale Element abbildet, muss
deswegen keineswegs bereits linear sein.

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Mein Fehler, war ja nur die Frage ob linear oder nicht.

Also so die Aussage: Also quasi für x=0 und p=0 und wenn es dann ≠0 ist, dann ist es nicht linear?

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Ja. So kannst du das sagen.

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i) \( f_{5}: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, p \mapsto p(2) \)
iii) \( f_{6}: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R}),(a, b, c, d) \mapsto a x^{2}-b x^{3}+c+d \)
ii) \( f_{7}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y) \mapsto(x-y, 1-x+y, x+y) \)
iv) \( f_{8}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C},(x, y) \mapsto x-\mathrm{i} y \)

Hier könnte man es nicht machen, weil es immer mehr als eine variabel gibt?

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Das geht hier genauso; denn der linke Raum

ist ja ein Vektorraum und besitzt ein additiv neutrales Element,

meist je nach Art "Null", "Nullvektor", "Nullpolynom", 0, etc.

genannt.

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Bei welcher Aufgabe genau? Oder bei allen?

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Grundsätzlich ! Habe ich doch klar ausgedrückt !?!

Danach sind \(f_5\) und \(f_7\) nicht linear.

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Das ist leider nicht so leicht für mich, daher die vielen Nachfragen, sorry!

Wie bist du bei f₅  Drauf gekommen?

Weil es soll doch p↦p(2) sein und p(0)≠p(2)

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Oh, sorry. Da habe ich dich leider verwirrt;

denn für das Nullpolynom p=0 gilt natürlich

p(2)=0.

Da habe ich wohl nicht richtig hingeguckt :-(

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Und bei f₇?

Einfach f(0,0)=(0-0,1-0+0,0+0)=(0,1,0)≠(0,0,0)?

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Ja. Genau so geht's bei f7.