Tanne am Abhang mit Gleichung E: 2x + 3y + 6z = 35. Spitze der Tanne S(5|7|26)

Question

Aufgabe "Tanne am Abhang":

Ein Abhang wird beschrieben durch die Ebene \( \mathrm{E}: 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+6 \mathrm{z}=35 . \) Auf dem
Abhang steht eine senkrechte Tanne, deren Spitze der Punkt \( \mathrm{S}(5|7| 26) \) is \( (\mathrm{LE}: 1 \mathrm{m}) \)

a) Wie hoch ist die Tanne?

b) In welchem Winkel steht die Tanne zum Hang?

c) Zur Sicherung der Tanne wird im Punkt \( \mathrm{P}(5|7| 17) \) ein Sicherungsseil angebracht, das am Abhang senkrecht zu diesem verankert werden soll. Ermitteln Sie den Punkt Q der Verankerung.

d) Auf dem Abhang soll in 30 m Höhe ein Wanderweg angelegt werden. Geben Sie die Gleichung der Geraden an, welche den Verlauf dieses Weges beschreibt.

e) Ein Blitz trifft die Tanne, worauf diese zerbricht. Ihre Spitze fällt auf den Abhang im Punkt \( A(1|-1| 6) . \) In welcher Höhe ist die Tanne abgeknickt?

Probleme:

Bei a) komme ich auf einen Abstand von = 21,714 Metern, ist das korrekt?

b) ist für mich schwer nachzuvollziehen, ich soll doch den Winkel zwischen E und S errechnen, aber wie soll das gehen?

c), d) und e) sind für mich nicht verständlich.

Answer 1

a) E: 2·x + 3·y + 6·z = 35

Hier die x und y Koordinate der Tanne einsetzen und nach z auflösen

2·(5) + 3·(7) + 6·z = 35

z = 2/3

Höhe der Tanne: 26 - 2/3 = 25.33 m

 

b) α = ARCCOS([0, 0, 1]·[2, 3, 6]/(1·√(2^2 + 3^2 + 6^2))) = 31.00°

 

c) Q = [5, 7, 17] + r·[2, 3, 6] = [2·r + 5, 3·r + 7, 6·r + 17]

Schnittpunkt mit Ebene bilden

2·x + 3·y + 6·z = 35

2·(2·r + 5) + 3·(3·r + 7) + 6·(6·r + 17) = 35

r = -2

Q = [2·(-2) + 5, 3·(-2) + 7, 6·(-2) + 17] = [1, 1, 5]

 

d) 2·x + 3·y + 6·z = 35

2·x + 3·y + 6·(30) = 35

2·x + 3·y = -145

 

e) | [5, 7, z] - [5, 7, 2/3] | = | [5, 7, z] - [1, -1, 6] |

z - 2/3 = | [4, 8, z - 6] |

z - 2/3 = √(z^2 - 12·z + 116)

z^2 - 4·z/3 + 4/9 = z^2 - 12·z + 116

z = 65/6

65/6 - 2/3 = 61/6 = 10.17 m

Comments

Okay Super danke. Bei a) wieso hast du nicht einfach mit der Abstandsformel (HNF) gerechnet?

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Weil nicht der Abstand der Tannenspitze zur Ebene gefragt war sondern wie hoch die senkrecht stehende Tanne ist.

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Okay und wieso muss man jetzt genau nach z umstellen? :/

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Weil ich wissen will bei welcher z.Koordinate die senkrechte Tanne die Ebene schneidet.

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Okay danke und bei b) wo holst du die (0,0,1) her?

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(0,0,1) zeigt in z-Richtung, also in die Richtung der Tanne.

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Das ist der Richtungsvektor der Tanne. Die Tanne steht senkrecht also nur in z richtung.

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Das ist jetzt peinlich aber kann mir einer e) erklären also wie du darauf kamst usw

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Was bedeuten denn die Ausdrücke links und rechts des Gleichheitszeichens? Warum habe ich sie hier gleichgesetzt und wie löse ich das dann auf. Das sind Fragen die du selber mal ergründen solltest.

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ist vielleicht nicht mehr aktuell, aber muss man beim winkel nicht den Sinus nehmen, weil man einen Normalenvektor und eine Gerade nimmt?
dann kämen da 59 Grad raus

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Ja. Ich hatte damals anders interpretiert. Aber macht mit dem Sinus eventuell mehr Sinn. Ich habe gerachnet das eine Normale Tanne einen Winkel von 0 Grad hat und diese in der Aufgabe um 31 Grad zum Hang geneigt ist.

Aber in der Aufgabe ist das eigentlich anders gefragt. Daher macht das wie du meinst mehr Sinn.

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allerdings sitze ich grade auch an der aufgabe e dieser aufgabe.. bis dahin alles wenig problematisch, auch wenn meine lösungswege teilweise anders waren :b
aber jetzt hänge ich.. ich habe einen ganz anderen Ansatz gewählt, und blicke gerade auch nicht hinter deinen, aber es kommt auf jeden fall nur mist raus:

ist der lösungsweg überhaupt möglich und wenn nein, was steckt hinter deinem? die 2/3 verwirren mich da ziemlich :D

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ok (hoffe ich kriege keinen ärger wegen einem repost, aber ich habe meinen fehler gefunden.. 

Die Betragstriche waren falsch.. aber trotzdem interessiert es mich was hinter deiner lösung steckt!
Könntest du das vielleicht erklären?

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Thomagedu: |QB| + |BA| = 25.33333...

sonst hast du nur noch den Vektor QA zwischen den Betragsstrichen.

EDIT: Hast du soeben korrigiert.

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Mein Ansatz sieht falsch aus. Ich wollte dort sicher 26 statt 2/3 schreiben

| [5, 7, z] - [5, 7, 26] | = | [5, 7, z] - [1, -1, 6] |

D.h. von der Abknickstelle zur Spize muss es soweit sein wie von der Abknickstelle bis zu der Stelle wo die Spitze landet. Wenn ich das löse komme ich jetzt auf

z = 14

Damit ist die Tanne in einer Höhe von 14 - 2/3 = 13.33 m abgeknickt.

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ah ok :P bei mir war immer noch ein fehler den habe ich aber auch gefunden, die 76/3 stimmten nicht.. irgendwann wird es zu spät zum logisch denken :D

aber danke für die Hilfe!

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Ging mir damals bei der Berechnung vielleicht auch so. Ich löse die Aufgaben hier auch immer ohne Kontrolle. Die überlasse ich dann normal dem Fragenden.