Steckbriefaufgabe: Funktion 3. Grades hat bei x=2 eine Tangente mit der Steigung 38, bei x=-1/9...

Question

Hey Mathematiker!

Ich gehe in die 11. Klasse eines Wirtschaftsgymnasiums und kann eine Aufgabe nicht lösen.
Also wir müssen eine Gleichung aufstellen und die dann mit dem Gauß-Jordan Verfahren lösen.
Ich brauche nur hilfe um die Gleichung aufzustellen, den Rest kann ich dann :D

Aufgabe:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei x=2 eine Tangente mit der Steigung 38,  bei x= -1/9 und bei x=0 verlaufen die Tangenten parallel zur Abszissenachse. Die Ordinate wird bei 1 geschnitten.

Mein Lösungsansatz:
f(x)= ax^3 + bx^2 + cx d
f'(2)=38
f(0)= 1

diesen Satz konnte ich nicht lösen: "bei x= -1/9 und bei x=0 verlaufen die Tangenten parallel zur Abszissenachse"

Ich

Answer 1

Hi,

die "Abszissenache" ist die x-Achse. Die "Steigung" in den oben genannten Stellen ist also 0. Das entspricht dann der Ableitung an der genannten Stelle:

f'(2) = 38

f(0) = 1

f'(-1/9) = 0

f'(0) = 0

 

Daraus

12a + 4b + c = 38

d = 1

1/27a - 2/9b + c = 0

c = 0

 

Gelöst und man erhält:

f(x) = 3x³ + 0,5x² + 1

 

Grüße

Comments

Dann wäre:


I      12a + 4b + 1c = 38

II   -1/27a - 2/9 + 1c = 0

III   0 + 0 + 0 + 1 = 1

IV   0 + 0 + 1 + 0 = 0

oder?

---

12           4        1      0     38
-1/27     -2/9     1      0       0
0            0         0      1       1
0            0         1      0       0


also kann ich das so in den GTR eingeben? :)

---

12a + 4b + c = 38

d = 1

1/27a - 2/9b + c = 0

c=0.

Unknown hat dir doch hier schon 2 Gleichungen mit nur 2 Unbekannten hingeschrieben.

 

12a + 4b  = 38

1/27a - 2/9b  = 0

Da bist du doch schneller von Hand als mit dem TR fertig :)

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei $x=2$ eine Tangente mit der Steigung $m=38$, bei $x= -\frac{1}{9}$ und bei $x=0$ verlaufen die Tangenten parallel zur Abszissenachse. Die Ordinate wird bei 1 geschnitten.

Ich berechne die Funktion vorerst so, als ob im Ursprung der Extremwert liegt. Da ist dann eine doppelte Nullstelle. Nun weiter mit der Linearfaktorform.

$f(x)=ax^2(x-N)=a[x^3-Nx^2]$

... bei $x=2$ eine Tangente mit der Steigung $m=38$ 1. Ableitung.

$f'(x)=a[3x^2-2Nx]$

$f'(2)=a[12-4N]=38$

$a=\frac{38}{12-4N}=\frac{19}{6-2N}$

...bei $x= -\frac{1}{9}$  verläuft die Tangente parallel zur Abszissenachse

$f'(x)=\frac{19}{6-2N}[3x^2-2Nx]$

$f'(-\frac{1}{9})=\frac{19}{6-2N}[\frac{1}{27}+\frac{2}{9}N]=0$

$N=-\frac{1}{6}$

$a=3$

$f(x)=3[x^3+\frac{1}{6}x^2]$

Nun ist das Extremum bei U$(0|0)$

Die Ordinate wird bei 1 geschnitten.

Also wird der Graph von $f$ um eine Einheit nach oben verschoben und erhält den Namen  $p$

$p(x)=3[x^3+\frac{1}{6}x^2]+1$