Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei \(x=2\) eine Tangente mit der Steigung \( m=38 \), bei \(x= -\frac{1}{9}\) und bei \(x=0\) verlaufen die Tangenten parallel zur Abszissenachse. Die Ordinate wird bei 1 geschnitten.
Ich berechne die Funktion vorerst so, als ob im Ursprung der Extremwert liegt. Da ist dann eine doppelte Nullstelle. Nun weiter mit der Linearfaktorform.
\(f(x)=ax^2(x-N)=a[x^3-Nx^2]\)
... bei \(x=2\) eine Tangente mit der Steigung \( m=38 \) 1. Ableitung.
\(f'(x)=a[3x^2-2Nx]\)
\(f'(2)=a[12-4N]=38\)
\(a=\frac{38}{12-4N}=\frac{19}{6-2N}\)
...bei \(x= -\frac{1}{9}\) verläuft die Tangente parallel zur Abszissenachse
\(f'(x)=\frac{19}{6-2N}[3x^2-2Nx]\)
\(f'(-\frac{1}{9})=\frac{19}{6-2N}[\frac{1}{27}+\frac{2}{9}N]=0\)
\(N=-\frac{1}{6}\)
\(a=3\)
\(f(x)=3[x^3+\frac{1}{6}x^2]\)
Nun ist das Extremum bei U\((0|0)\)
Die Ordinate wird bei 1 geschnitten.
Also wird der Graph von \(f\) um eine Einheit nach oben verschoben und erhält den Namen \(p\)
\(p(x)=3[x^3+\frac{1}{6}x^2]+1\)
