Wie forme ich richtig um, dass sich x^{n+2} ergibt?

Question

Ich scheitere gerade an dieser Induktion.

\( \sum \limits_{k=0} x^{k}=\frac{1}{1-x}^{n+2} \)

\( \sum \limits_{k=0}^{n} x^{k}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x} \)

\( \frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x} \)

\( 1-x^{n+1}+x^{n+1}(1-x)=1-x^{n+2} \)

\( x^{n+2}=x^{n+2} \)

→ ist korrekt

Die Lösung ist x^n+2 = x^n+2

Aber wie kommt man darauf? Ich hänge gerade fest an xⁿ⁺¹ (1-x) = 1-xⁿ⁺²

Comments

Okay die aufgabe ist gelöst. Ich konnte nicht sehen, dass -xⁿ⁺¹*(-x) = xⁿ⁺² ergibt.

Answer 1

xⁿ⁺¹ (1-x) = 1-xⁿ⁺²  stimmt nicht

multipliziere aus und benutze x^1 = x

xⁿ⁺¹ (1-x) = xⁿ⁺¹ *1- x^{n+1} *x = x^{n+1} - x^{n+1+1} = x^{n+1} - x^{n+2}

nun kommst du bestimmt selbst weiter. 

1- x^{n+1} + x^{n+1} - x^{n+2} = 1 - x^{n+2}  |-1

x^{n+2} = x^{n+2}