Lineare Abbilding R ^4 → R^3

Question

Aufgab

Es Sei f = R⁴  → R³  jene R lineare Abbildung ,die durch

\( \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix} \)  →  \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 & 0 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \\ -4 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix} \)

definiert wird

Problem/Ansatz :

1) Geben Sie kern (f)
2) Geben Sie rg (f) und eine Basis von im (f) an
3) Untersuchen Sie und begründen  , ob di Abbildung injektiv , surjektiv oder bijektiv ist

Answer 1

1)

        \(\ker f = \left\{\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3 \right|\left. \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 & 0 \\ -3 & 1 & -4 & 1 \\ -4 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\right\}\)

2) \(\operatorname{rg} f = \dim \mathbb{R}^4 - \dim\ker f\)

Eine Basis von \(\operatorname{im} f\) bekommst du indem du die Spaltenvektoren der Matrix in eine Menge packst und daraus sukzessive Vektoren entfernst, die sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lassen.

3) Die Abildung ist injektiv wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Die Abildung ist surjektiv wenn das Bild \(\mathbb{R}^3\) ist.

Die Abbildung ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.