Zeigen Sie, dass f g differenzierbar in 0 ist mit (f g)^{\prime}(0)=f^{\prime}(0) g(0) .

Question

Aufgabe:

Gegeben seien Funktionen \( f, g, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
(a) Sei \( g \) stetig in \( 0, f \) differenzierbar in 0 mit \( f(0)=0 \). Zeigen Sie, dass \( f g \) differenzierbar in 0 ist mit \( (f g)^{\prime}(0)=f^{\prime}(0) g(0) \).
(b) Sei \( -x^{2} \leq h(x) \leq x^{2} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass \( h \) differenzierbar ist im Punkt 0 und berechnen Sie \( h^{\prime}(0) \).

Problem/Ansatz:

wie kann ich die Aufgaben loesen/pruefen?

Answer 1

(a)  Betrachte den Differenzenquotienten von \(fg\) an der Stelle \(x_0=0\):$$\quad\frac{(fg)(x_0+h)-(fg)(x_0)}h=\frac{f(h)g(h)-f(0)g(0)}h=\frac{f(h)-f(0)}h\cdot g(h).$$Da nach Voraussetzung \(f\) differenzierbar und \(g\) stetig in \(0\) ist, ist$$\quad\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}h=f^\prime(0)\text{ und }\lim_{h\to0}g(h)=g(0).$$Daraus folgt die Behauptung.

(b)  Aus den Voraussetzungen folgt für \(x\ne0\) unmittelbar$$\quad\left\lvert\frac{h(x)-h(0)}x\right\rvert\le\lvert x\rvert.$$