Produktregel beim Ableiten angewandt: warum ist mein g'(x) nicht das selbe wie beim prof?

Question

Aufgabe aus der Musterlösung des Profs:

Text erkannt:

\( l(x)=\sqrt{(x+8)^{2}+h^{2}}=\sqrt{(x+8)^{2}+9\left(\frac{x+8}{x}\right)^{2}}=\frac{x+8}{x} \sqrt{x^{2}+9} \)
Wir suchen also das globale Minimum der Funktion \( l \) auf \( (0, \infty) \). Es gilt
\( l^{\prime}(x)=\frac{x-(x+8)}{x^{2}} \sqrt{x^{2}+9}+\frac{x+8}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}=-\frac{8}{x^{2}} \sqrt{x^{2}+9}+\frac{x+8}{\sqrt{x^{2}+9}} \)

l(x) ableiten.

Unklar: Auf das Ergebnis der Ableitung kommen.

Edit: nur g'(x) scheint unklar zu sein. Hier benutzt man ja die faktorregel

Lösungsansatz:

Edit nach dem erstellen des Posts: Ich habe vermutlich g oder g' falsch bestimmt. der Rest scheint übereinzustimmen. Hier der ganze Ansatz:

$$ \frac{x+8}{x} \sqrt{x^{2}+9}= l\\ l\rarr l' = f'g + fg' \\ f= \frac{x+8}{x} =\frac{ff}{fg} \rarr QR \rarr ff= x+8 \rarr ff' = 1 \ und \ fg =x\rarr fg'=1 \\ f'=\frac{ff'fg-fffg'}{fg^2} = \frac{1(x)-(x+8)}{x^2}=-8/x^2 \\ g=(x^2+3^2)^{1/2}\rarr PO_{tenzregel}\rarr \frac{1}{2}(x^2+3^2)^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2(x^2+3^2)^{1/2}} =g' \\ l'= \frac{-8}{x^2}\sqrt{x^2+3^2}+\frac{x+8}{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+3^2}}$$

Answer 1

Aloha :)

Zur Ableitung der Funktion$$\ell(x)=\frac{x+8}{x}\sqrt{x^2+9}$$brauchst du Produkt-, Quotienten und Kettenregel:$$\ell'(x)=\underbrace{\frac{x+8}{x}}_{=f}\cdot\underbrace{\sqrt{x^2+9}}_{=g}=\underbrace{\left(\frac{\overbrace{x+8}^{=u}}{\underbrace{x}_{=v}}\right)'}_{=f'}\cdot\underbrace{\sqrt{x^2+9}}_{=g}+\underbrace{\frac{x+8}{x}}_{=f}\cdot\underbrace{\left(\sqrt{x^2+9}\right)'}_{=g'}$$$$\phantom{\ell'(x)}=\frac{\overbrace{1}^{=u'}\cdot\overbrace{x}^{=v}-\overbrace{(x+8)}^{=u}\cdot\overbrace{1}^{=v'}}{\underbrace{x^2}_{=v^2}}\cdot\sqrt{x^2+9}+\frac{x+8}{x}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2+9}}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{2x}_{=\text{innere Abl.}}$$$$\phantom{\ell'(x)}=-\frac{8}{x^2}\sqrt{x^2+9}+\frac{x+8}{\sqrt{x^2+9}}$$

Comments

Aloha ich scheine konkret Probleme mit g' zu haben. der "innere ableitung"- Teil fehlt bei mir da komplett. Mein Ansatz:

$$g(x)=\sqrt{x^2+9} = (x^2+9)^{1/2} \\ f(x)=x^n\rarr f'(x) = nx^{n-1} \\ f(x)=g(x)\\ x = (x^2+9) ,\ n=1/2 \rarr g'(x)= \frac{1}{2}\cdot (x^2+9)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^2+9}}$$

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Mein letzter Kommentar ist fehlerhaft, da bei g' nochmal die kettenregel gebraucht wird und ich nur die äußere Ableitung gebildet habe.

Case closed

Danke dir nochmal Tschakabumba

Answer 2

\( l(x)=\frac{x+8}{x} \cdot \sqrt{x^{2}+9} \)
\( \frac{d l(x)}{d x}=\frac{1 \cdot x-(x+8) \cdot 1}{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}+9}+\frac{x+8}{x} \cdot \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{x^{2}+9}} \)
\( \frac{d l(x)}{d x}=\frac{x-x-8}{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}+9}+\frac{x+8}{\sqrt{x^{2}+9}} \)
\( \frac{d l(x)}{d x}=\frac{-8 \cdot \sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}}+\frac{x+8}{\sqrt{x^{2}+9}} \)
Jetzt kannst du das noch auf einen Nenner bringen.