Bilden die Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} eine Basis des ℝ^{2}?

Question

Aufgabe:

Existenz einer R linearen Abbildung beweisen.

a) Überprüfen Sie, ob die Vektoren

\( v_{1}:=(1,3), \quad v_{2}:=(2,1), \quad v_{3}:=(4,7) \) ein Erzeugendensystem des \( \mathbb{R}- \) Vektorraums \( \mathbb{R}^{2} \) bilden.

b) Bilden die Vektoren \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{2} \) ?

c) Existiert eine \( \mathbb{R} \)-lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( f\left(v_{1}\right)=(-2,-1), \quad f\left(v_{2}\right)=(6,3), \quad \text { und } \quad f\left(v_{3}\right)=(1,1) ? \) Beweisen Sie Ihre Behauptung.

Problem/Ansatz:

Guten Abend. Ich weiß den Ansatz für Aufgabe c nicht um diese lösen zu können.

Comments

c) Es gilt 2*v1 + v2 = v3

Gilt entsprechend

 2*f(v) + f(v2) = f(v3)

? Wenn ja gibt es eine solche lineare Abbildung, wenn nicht, dann nicht.

Answer 1

Wenn es eine solche gäbe, dann wäre

f(v3)=f(2*v1 + v2)=2*f(v) + f(v2)

Aber es ist

\(  f\left(v_{3}\right)=(1,1)  \)  Aber \( 2*(-2,-1)+(6,3)=(2,1)\)

Also gibt es so ein f nicht.