Darf man hier das Wurzelkriterium benutzen?

Question

Ich soll folgende Reihe (von k=1 bis unendlich) auf Konvergenz untersuchen:

∑ \( \frac{e^-2k}{e^-k} \)

Ich habe dies umgewandelt in:

( \( \frac{e^-2}{e^-1} \) )^k

Um dann das Wurzelkriterium anzuwenden. Ich bekomme dann

\( \frac{e^-2}{e^-1} \)

raus und das ist natürlich kleiner als 1, weil e^-1 größer als e^-2 ist. Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut.

Kann man das so machen? Die Musterlösung hat einen ganz anderen Lösungsweg, aber das gleiche Ergebnis.

Answer 1

Zwei kritische Bemerkungen:

Natürlich darfst du das Wurzelkriterium anwenden. Du kannst nur nicht immer damit rechnen, dass die Anwendung desselben auch zielführend ist.

Zweitens irritiert mich, dass du - welches Kriteritum auch immer - auf den Bruch \(\frac{e^{-2k}}{e^{-k}}\) loslassen willst, ohne vorher eine naheliegende Vereinfachung dieses Bruchterms vorzunehmen. Sind dir die Potenzgesetze so fremd?

Comments

Also ich hätte halt das k aus den beiden Exponenten genommen und dann als Exponent für den gesamten Bruch benutzt. Durch das Wurzelkriterium fällt das ja dann sofort weg und man hat nur noch e^-2 im Zähler und e^-1 im Nenner

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Und du kommst immer noch nicht auf die Idee, diesen Bruch zu kürzen?