Wie kommt man auf die bedingte Dichte?

Question

Aufgabe:

integrierte Gleichverteilung

Sei \( (X, Y) \) ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der gemeinsamen Dichte

\( f_{(X, Y)}(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} 4 x y, & \text { falls } 0 \leq x, y \leq 1 \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

Für \( y \in(0,1] \) gilt dann für die bedingte Dichte von \( X \) unter der Bedingung \( \{Y=y\} \) :

\( f_{X \mid Y=y}(x)=\frac{f_{(X, Y)}(x, y)}{f_{Y}(y)}=\left\{\begin{array}{cc} 2 x, & \text { falls } x \in[0,1] \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Hey, seht ihr vielleicht, wie man von der gemeinsamen Dichte von X und Y auf die bedingte Dichte kommt?

LG

Answer 1

Im Nenner steht die Randdichte

$$f_Y(y) = \int_0^1f_{(X,Y)}(x,y)dx = 4y\int_0^1x\;dx= 2y$$

Damit erhältst du auf \([0,1]^2\) für \(y\neq 0\)

$$\frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{4xy}{2y}=2x$$

Comments

Vielen lieben Dank!!:)

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Ich habe noch eine kurze Frage. Iich hoffe, dass ist in Ordnung: Stimmt  \( P_{X \vert Y=y}(B)=\int_B 2x \; 1_{\{x \in [0,1]\}}(x)dx=\int_0^12x dx=1\) auf Basis von der obigen Rechnung?

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@Frage12345

Das stimmt im allgemeinen nicht und hängt davon ab, was \(B\) ist.

Zum Beispiel würdest du für \(B= \left[\frac 14,\frac 34\right]\times [0,1]\) erhalten

$$P_{X|Y=y}(B) = \int_{\frac 14}^{\frac 34}2x\;dx = \frac 12$$

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Alles klar, vielen Dank für deine erneute Hilfe:)