Zeigen Sie: -3 ist kein Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{n ∈ ℕ} .

Question

Aufgabe:

Existenz von keinen weiteren Häufungspunkten beweisen. (Klausuraufgabe)

Aufgabe 5 [7 Punkte \( ] \)
Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} \) eine Folge mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=5 \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{2 n+1}=7 \).
(a) Zeigen Sie: -3 ist kein Häufungspunkt der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

Problem/Ansatz:

Mir fällt es schwer für die Aufgabe die Beweisstruktur aufzustellen. War eine Klausuraufgabe beim ersten Termin und bisher fällt es mir weiterhin schwer die zu lösen.

Answer 1

Wenn -3 ein Häufungspunkt wäre, dann müssten sich in einer Epsilonumgebung von .3 unendlich viele Folgewerte befinden. Trifft das hier zu?

Comments

Nein, für -3 liegen nicht unendlich viele Folgenwerte. Bei HP: 5. Für jedes ε > 0 liegen alle Folgengelider mit geraden Index als unendlich viele, in der Umgebung (5-ε,5+ε). Bei ungeradem Index liegen unendlich viele in der Epsilonumgebung (7-ε,7+ε) HP:7. Heißt ja das es keine unendlich weitere Teilfolgen existieren da mit den geraden und ungeraden Index alle mögl. Teilfogen beschrieben werden.

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So sieht es aus. Und daher ins -3 kein Häufungspunkt. Es gibt hier nur zwei Häufungspunkte. 5 und 7.