Basis und orthogonale komplemnte Bestimmen.

Question

Aufgabe:

Ich weiß nicht was ich bei dieser Aufgabe machen soll.

Kann mir das jemand erklären?

Text erkannt:

(a) Auf dem $\mathbb{R}$-Vektorraum $\mathbb{R}[t]_{\leq 3}=\mathbb{R} \cdot 1 \oplus \mathbb{R} \cdot t \oplus \mathbb{R} \cdot t^{2} \oplus \mathbb{R} \cdot t^{3}$ der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3 ist die folgende Bilinearform $\phi_{i n t, 2}$ definiert,
$\phi_{i n t, 2}(f, g):=\int \limits_{-1}^{1} f(t) g(t) \mathrm{d} t .$
Bestimmen Sie die Matrix $\left(\phi\left(b_{i}, b_{j}\right)\right)$ zur Basis $\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)=\left(1, t, t^{2}, t^{3}\right)$. Bemerkung: $\mathbb{R}[t]_{\leq 3}$ ist ein Euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt $\phi_{\text {int }, 2}$.
(b) $U:=\mathbb{R} \cdot 1 \subset \mathbb{R}[t]_{\leq 3}$ sei der eindimensionale Unterraum von $\mathbb{R}[t]_{\leq 3}$, der vom Polynom 1 erzeugt wird. Bestimmen Sie sein orthogonales Komplement $U^{\perp}$ bezüglich $\phi_{\text {int }, 2}$.

Comments

Ich weiß nicht was ich bei dieser Aufgabe machen soll.

Für a) ist das doch explizit als Rechenaufgabe angegeben. $\varPhi(f,g)$ ist für 2 Funktionen definiert. Du sollst jetzt die Werte für die gegebenen b_i und b_j ausrechnen...

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Ich weiß nicht, wie ich es berechnen kann. Kannst du es mir ausführlicher erklären?

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Zum Beispiel:

$$\phi(b_2,b_4)=\int_{-1}^1 b_2(t)b_4(t) \; dt =\int_{-1}^1 t \cdot t^3 \;dt=...$$

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Achso alles klar verstehe, danke.

Wie entsteht dadurch aber eine Matrix?

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Matrix A mit Komponenten

$$a_{i,j}= \phi(b_i,b_j)$$

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Achso ist dann die erste Spalte der matrix dann:

b_1 b_1b_2 etc.?

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Das verstehe ich jetzt nicht.

PS: Bin jetzt erstmal weg