Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe

Question

Ich habe das noch nicht wirklich mit dem bestimmen von Konvergenzbereichen verstanden. Kann mir das jemand an der folgenden Aufgabe erklären?

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( x + 1 ) ^ { n } } { n · 4 ^ { n - 1 } } $$

Mir ist klar, dass ich mit der Gleichung:

$$ r = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left| \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } \right| $$

irgendwie den Konvergenzradius berechnen kann. Kann mir jemand einzelne Schritte bis zum Ergebnis aufzeigen?

Das Ergebnis lautet -5 < x < 3.

Answer 1

Das a_n ist alles, was keine Potenz in x involviert, das ist in diesem Fall also:

$$ \left. \begin{array} { l } { a _ { n } = \frac { 1 } { n · 4 ^ { n - 1 } } } \\ { a _ { n + 1 } = \frac { 1 } { ( n + 1 ) · 4 ^ { n } } } \\ { = > \left| \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } \right| = \frac { 4 ^ { n } · ( n + 1 ) } { 4 ^ { n - 1 } · n } } \\ { = \frac { 4 ^ { n } } { 4 ^ { n - 1 } } \frac { n + 1 } { n } } \\ { = 4 · \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) } \end{array} \right. $$

Bildet man jetzt den Grenzwert für n->unendlich, so bleibt

r = 4

Das Zentrum der Potenzreihe ist die -1, also konvergiert die Reihe im Bereich zwischen -1-4=-5 und -1+4=3.

Comments

Sehr schön und sauber erklärt :)

Für den Leser könnte man vielleicht noch ergänzen, weshalb das Zentrum der Potenzreihe die -1 ist.

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Super. Klasse. Jetzt hab ich das auch endlich richtig verstanden. Dann will ich mal weiter üben.

Mir ist das mit der -1 klar. Aber ich beschäftige mich da auch schon eine ganze Weile mit. ;-)