Aufgabe:
Aufgabe 4.1
Gegeben sei die Matrix \( B:=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \). Wir betrachten die Abbildung
\( f: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{3 \times 2}, \quad A \mapsto B \cdot A \)
(a) Zeigen Sie, dass \( f \) linear ist.
(b) Sei \( E_{i j} \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) diejenige Matrix mit Eintrag \( (i, j) \) gleich 1 und allen anderen Einträgen gleich 0 . Analog definieren wir \( F_{i j} \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \). Dann sind
\( B:=\left(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\right) \quad \text { und } \quad C:=\left(F_{11}, F_{12}, F_{21}, F_{22}, F_{31}, F_{32}\right) \)
Basen von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) und \( \mathbb{R}^{3 \times 2} \). Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( C[f]_{B} \).
Problem/Ansatz:
Bei a) wissen wir die Bedingung für Linearität, aber an der Anwendung scheitert es. Und bei B haben wir die beiden Basen bestimmt (0,1,1,0) und (0,1,1,0,1,1), kommen aber jetzt nich darauf wie wir daraus die Darstellungsmatrix bilden.
