Ich kann z1 und w1 und das ergebnis einzeichnen, aber dadruch habe ich ja nichts bewiesen?

Question

Aufgabe:

Machen Sie eine Skizze die den Rechenweg von z/w veranschaulicht.

Problem/Ansatz:

z1=2e^{i x 60}

w1=2e^{-30 x i}

und z2=1+√3 x i

w2= √3 - i

diese soll man jeweils durcheinander teilen also z1:w1 und z2:w2(sind an sich gleiche funktionen nur andere darstellungsformen), das ist auch kein problem, aber wie stelle ich es grafisch dar. Ich kann z1 und w1 und das ergebnis einzeichnen, aber dadruch habe ich ja nichts bewiesen?

Wäre sehr dankbar über eine skizze

Comments

\(z_2=1+\sqrt{3} * i\)

oder:

\(z_2=1+\sqrt{3* i} \)

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Anstatt  60 und 30 sollte da sicher  60° bzw. 30° stehen  (zu interpretieren als Winkel in Grad, die man dann für Rechnungen ins Bogenmaß umrechnet).

Answer 1

Um die Division graphisch zu begreifen, eignet sich die Polardarstellung besser als die kartesische Form.

Ich würde es so machen:

In einem x-y-Koordinatensystem K (für komplexe Zahlen) zuerst die Punkte einzeichnen, die für die Zahlen z und w  stehen (ich erlaube mir, auf die Nümmerchen zu verzichten).

Nun zeichne ich ein neues Koordinatensystem K* ein. Der Nullpunkt von K* sei identisch mit jenem von K . Die neue x-Achse (x*-Achse) soll durch den Punkt w verlaufen, die y*-Achse senkrecht dazu (x* um 90° linksrum gedreht) und die Maßeinheit auf beiden neuen Achsen gleich dem Abstand  |w|. Im neuen Koordinatensystem hat dann also der Punkt w die Darstellung  w = 1 . Der Punkt z (von vorher) entspricht nun bezüglich des neuen Koordinatensystems der komplexen Zahl  z/w . Um das zu verstehen, muss man nur die Drehstreckung des Koordinatensystems verstehen.

Comments

Heisst das der Vektor von z ist durch die Drehung der von z/w geworden ohne das er verändert wird und wieso orientiert sich die x-Achse an  w und nicht an z?

Entschuldige bin noch etwas verwirrt, vielen Dank aber trotzdem.