Maßraum und messbare Funktionen

Question

Aufgabe 1a) Sei \( (\Omega, \mathscr{F}, \mu) \) ein Maßraum und \( f_{n}: \Omega \rightarrow[0, \infty] \) messbare Funktionen.

Zeigen Sie, dass
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \int f_{n} \mathrm{~d} \mu=\int \sum \limits_{n=1}^{\infty} f_{n} \mathrm{~d} \mu \text {. } \)
b) Berechnen Sie
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{\infty} \cos (x / n)^{5} e^{-x} \mathrm{~d} x \)

Ich brauche Hilfe bei b). Ich habe das Gefühl, dass ich den Satz von der monotonen Konvergenz verwenden muss, aber bin mir nicht ganz sicher, weil die Integrationsvariable x ist.

Answer 1

Hallo,

setze \( f_n:  [0,\infty) \to \mathbb{R},  x \mapsto \cos(x/n)^5 \cdot e^{-x}, n\in\mathbb{N} \)

Dann gilt \( f_n(x) \to e^{-x} \)  und \( |f_n(x)| \leq e^{-x} \) für alle \( x\in [0,\infty) \) und \(\int_0^{\infty}e^{-x}\, dx = 1 < \infty\)

Aus dem Satz von Lebesgue folgt dann

\( \lim_{n\to \infty} \int_0^{\infty}f_n(x)\, dx = \int_0^{\infty}e^{-x}\, dx = 1 \)