Zeigen Sie, dass C^1([0,1];||·||) vollständig ist:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \( C^{1}([0,1],\|\cdot\| \mid) \) vollständig ist, d.h. dass jede Cauchyfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( C^{1}([0,1]) \) bezüglich \( \|\cdot\| \) konvergiert (also insbesondere auch der Grenzwert wieder in \( C^{1}([0,1]) \) liegt).

Problem/Ansatz:

Ich hätte mir dazu folgendes überlegt:

Angenommen, f_n ist eine Cauchy-Folge in C¹[0,1], dann gilt für jedes ϵ>0,∃M∈ℕ, sodass

\( \left\|f_{n}-f_{m}\right\|=\left\|f_{n}-f_{m}\right\|_{\infty}+\left\|f_{n}^{\prime}-f_{m}^{\prime}\right\|_{\infty} \leq \epsilon, \forall m, n \geq M \)

Für jedes feste \( x \in C^{1}[0,1],\left\|f_{n}-f_{m}\right\|_{\infty} \leq \epsilon \) und \( \left\|f_{n}^{\prime}-f_{m}^{\prime}\right\|_{\infty} \leq \epsilon \) und somit für dieses feste \( x f_{n} \) und \( f_{n}^{\prime} \) Cauchy-Folgen und konvergieren daher: \( f_{n} \rightarrow f \) und \( f_{n}^{\prime} \rightarrow f^{\prime} \).

Sei \( m \rightarrow \infty \) dann \( \left\|f_{n}-f\right\| \leq \epsilon, \forall n \geq M, \forall x \in[0,1] \). Somit gilt:
\( \begin{aligned} \left\|f_{n}-f\right\| & =\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty}+\left\|f_{n}^{\prime}-f^{\prime}\right\|_{\infty} \\ & =\sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|+\sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)\right| \\ & \leq \epsilon \quad \forall n \geq M \end{aligned} \)
Daher ist \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\|f_{n}-f\right\|=0 \Longrightarrow C^{1}[0,1] \) ist vollständig.

Sind diese Überlegungen richtig und reicht das aus?

Answer 1

Hallo,

ich gehe davon aus, dass Ihr schon gezeigt habt, dass \((C[0,1],\|.\|_{\infty})\) vollständig ist.

Dann gilt: Wenn \((f_n)\) Cauchy-Folge in \((C^1[0,1],\|.\|)\) ist, dann sind \((f_n)\) und \((f'_n)\) Cauchy-Folgen in \((C[0,1],\|.\|_{\infty})\) - das hast du auch benutzt. Daraus folgt, dass Funktionen \(f,g\) existieren mit \(\|f_n-f\|_{\infty}\to 0\) und \(\|f'_n-g\|_{\infty}\to 0\). Dann ist zu zeigen, dass \(f'=g\) ist.

Dies kann entweder durch einen bekannten Satz erfolgen oder auch einfach gezeigt werden:

$$f_n(x)=f_n(0)+\int_0^xf'_n \Rightarrow f(x)=f(0)+\int_0^xg \Rightarrow g=f'$$

Der Grenzübergang unter dem Integral ist erlaubt, weil ja die Ableitungen gleichmäßig konvergieren.

Dann folgt, wie Du gezeigt hast, dass \(\|f_n-f\| \to 0\) (also Konvergenz in \(C^1[0,1]\))

Comments

ich gehe davon aus, dass Ihr schon gezeigt habt, dass \((C[0,1],\|.\|_{\infty})\) vollständig ist.

Ja das haben wir in der Tat schon beweisen!

Ansonsten vielen Dank für deine Hilfe ☺