Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen kompakt sind:

Question

Aufgabe:

Seien \( K, L \subset \mathbb{R}^{n} \) kompakt. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen kompakt sind:

(a) (1 Punkt) \( K \cap L \),

(b) (1 Punkt) \( K \cup L \),

(c) (2 Punkte) \( K \times L:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2 n} \mid x \in K, y \in L\right\} \),

(d) (2 Punkte) \( K+L:=\{x+y \mid x \in K, y \in L\} \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Immer zwei Möglichkeiten: Entweder über offene Überdeckung argumentieren oder über konvergente Teilfolgen. Bei a) zum Beispiel: Nimm an als Folge in K∩L, sie muss in beiden Mengen liegen, beide Mengen kompakt, konvergente Teilfolgen, liegt wieder im Schnitt, fertig.

Bei b) zum Beispiel: Offene Überdeckung von K∪L -> Überdeckt sowohl K als auch L -> K,L kompakt also besitzt sie jeweils endliche Teilüberdeckung, bilde die Vereinigung, die immer noch endlich ist-> Überdeckt wieder K∪L