Beschreiben Sie die in Kugelkoordinaten gegebene Menge in kartesischen Koordinaten.

Question

Aufgabe:

Beschreiben Sie die in Kugelkoordinaten gegebene Menge \( C \subset \mathbb{R}^{3} \) in kartesischen Koordinaten.

\( C:=\{(r \sin \theta \cos \phi, r \sin \theta \sin \phi, r \cos \theta): \quad r \in[0,3], \phi \in[0,2 \pi], \theta \in[0, \pi / 4]\} . \)

Problem/Ansatz:

Der Radius und die 2 Winkeln sind in einer Menge angegeben.Mit welchem Ansatz kann man vorgehen, um x , y, und z lösen zu können?

Answer 1

Man kann eigentlich sofort sehen, dass es sich um einen gewissen Teil der Vollkugel mit Radius  R = 3  um den Koordinatenursprung handeln muss. Die beiden Winkel  φ  und  θ  kann man analog zu geographischen Koordinaten (Länge, Breite) auf der Erdkugel betrachten. Nur das Intervall für den (Breiten-) Winkel  θ  ist eingeschränkt auf das Intervall von  0  bis  π/4 (entsprechend geographische Breite vom Aequatur bis  45° Nord).

Für eine Darstellung des Kugelschicht-Körpers in kartesischen Koordinaten würde ich also etwa das schreiben:

(1.)  0 ≤ z ≤ 3 /\( \sqrt{2} \)    (Maximum ist gleich R · sin(π/4) )

(2.)  x² + y² + z² ≤ 9

Genau alle Punkte P(x|y|z) ∈ ℝ³ , deren Koordinaten diese Ungleichungen erfüllen, gehören zur Punktmenge C .

Comments

Hab ich einen Denkfehler?

Welchen Punkt bekommst du heraus, wenn du r = 3 und θ = 0 einsetzt?

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Oh, Kleibenscheisster ...

Da habe ich wohl den Winkel  θ  nicht korrekt geometrisch identifiziert (in einer gebräuchlicheren Version).

In der neuen Situation hat man dann nicht eine Kugelschicht (wie ich zuerst meinte), sondern einen kegelförmigen Ausschnitt aus der Kugel.

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Also 9-z^2 ≤ x^2+y^2 ≤ z^2

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Bin jetzt etwas verwirrt.Ist jetz das (1.)  0 ≤ z ≤ 3 /\( \sqrt{2} \)    (Maximum ist gleich R · sin(π/4) )(2.)  x^2 + y^2 + z^2 ≤ 9

falsch und 9-z^2 ≤ x^2+y^2 ≤ z^2 richtig?

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9-z^{2} ≤ x^{2}+y^{2} ≤ z^{2} sind das nicht Polarkoordinaten?

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9-z^2 ≤ x^2+y^2 ≤ z^2 sind das nicht Polarkoordinaten?

Hier ein Video über Polarkoordinaten, allerdings im zweidimensionalen.

https://studyflix.de/mathematik/polarkoordinaten-1476

Vielleicht verstehst du dann was Polarkoordinaten sind.