Beweisen Sie: f ′(0) = 2 \frac{⟨p, Ax − ΛA(x)x⟩}{∥x∥2}

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ ℝ^nxn eine symmetrische Matrix, und seien x, p ∈ ℝⁿ Vektoren mit ∥x∥ = 1 und
∥p∥ ≤ 1. Da ∥x + tp∥ ≥ ∥x∥ − |t| ∥p∥ ≥ 1 − |t| > 0 für alle t ∈ (−1, 1) gilt,

so ist f := (−1, 1) → ℝ,

t → Λ_A(x + tp) = \( \frac{⟨x + tp, A(x + tp)⟩}{⟨x + tp, x + tp⟩} \)
eine wohldefinierte stetig differenzierbare Abbildung, wobei ∥ · ∥ die euklidische Norm ist und ⟨·, ·⟩ das Skalarprodukt.

(1) Beweisen Sie: f ′(0) = 2\( \frac{⟨p, Ax − Λ_A(x)x⟩}{∥x∥²} \)
(2) Zeigen Sie, dass alle lokalen Extremstellen (von x) des Rayleigh-Quotienten Λ_A(x) Eigenvektoren der Matrix A sind.

Problem/Ansatz:

(1) Ich weiß das der Gradient des Rayleigh Quotienten folgender Maßen aussieht:

∇r(x) = \( \frac{2}{⟨x,x⟩} \)(Ax-r(x)x)

Nun weiß ich aber nicht wie ich f dort einsetzten und umformen soll.

(2) Hier hab ich noch keine Ansätze.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf :)

Answer 1

f ist ja eine einfache reelle Funktion und kann nach den Standard-Regeln differenziert werden. Um die Schreibarbeit zu organisieren, schauen wir auf Zähler und Nenner

$$u(t):=\langle x+tp,Ax+tAp\rangle=\langle x,Ax\rangle+2t\langle p,Ax\rangle+t^2\langle p,Ap\rangle \\\quad \Rightarrow u'(t)=2\langle p,Ax\rangle+2t \langle p,Ap\rangle$$

Der Nenner \(v(t):=\langle x+tp,x+tp\rangle\) ist der Zähler für den Fall, dass \(A=I\)

Damit kann man die benötigte Ableitung mit der Quotientenregel berechnen:

$$f'(0)=\frac{v(0)u'(0)-v'(0)u(0)}{v(0)^2}=2\frac{\|x\|^2\langle p,Ax \rangle -\langle p,x \rangle \langle x,Ax \rangle}{\|x\|^2}\\\quad=2\langle p,Ax-\langle x,Ax \rangle x \rangle$$

(mit Benutzung von \(\|x\|=1\))

Wenn der Rayleigh-Quotient in einem solchen Punkte x eine Extremstelle hat, muss \(f'(0)=0\) sein für beliebige p, also gilt dann \(Ax=\langle x,Ax\rangle x\)