Zeigen oder widerlegen Sie : Produkt zweier Polynome

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie:
(i)   Das Polynom x² + 3 ∈ ℝ[x] lässt sich als Produkt zweier Polynome f, g ∈ ℝ[x] mit deg(f) = 1 = deg(g) schreiben.

(ii)   Das Polynom x² + 3 ∈ ℂ[x] lässt sich als Produkt zweier Polynome f, g ∈ ℂ[x] mitdeg(f) = 1 = deg(g) schreiben.

(iii)   Es gibt ein Polynom f ∈ ℤ/6ℤ[x] mit deg(f) = 2 und 4 Nullstellen.

Problem/Ansatz:

Comments

Zu (iii) wähle f(x) = 2x²+4.

Answer 1

(i) Angenommen, das würde gehen, dann hätte man a,b,c,d ∈ℝ

mit (ax+b)(cx+d)=x² + 3.

Koeffizientenvergleich liefert

ac=1  und ad+bc=0    und bd=3 .

Da c und d sicher nicht 0 sind gilt

a=1/c und b=3/d

in ad+bc=0  eingesetzt

        d/c + 3c/d = 0    \ *cd

       d² + 3c² = 0

Da Quadrate reeller Zahlen nie negativ sind: Widerspruch !

(ii)   (x+i√3) ( x-i√3) =  x² + 3

Answer 2

Ein Polynom vom Grad $\leq 3$ über einem Körper $K$

ist genau dann zerlegbar, wenn es eine Nullstelle in $K$ hat.

(i) es ist $x^2+3\geq 3$ für alle reellen $x$

(ii) In $\mathbb{C}$ hat jedes nichtkonstante Polynom eine
Nullstelle ($\mathbb{C}$ ist algebraisch abgeschlossen).