Wie viele Vielecke erhält man höchstens, wenn man 5, 6 oder 7 Punkte verbindet?

Question

Wenn man 3 Punkte durch Strecken verbindet, erhält man ein Dreieck. Mit 4 Punkten kann man bereits 4 Dreiecke erhalten.

Meine Frage ist wie viele Dreiecke oder auch andere Vielecke erhält man höchstens wenn man 5, 6 und 7 Punkte miteinander verbindet?

Problem/Ansatz:

Wie finde ich das heraus und was sind die Lösungen?

Comments

guckst Du hier: "Number of regions in regular n-gon with all diagonals drawn".

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Viel Spaß beim Nachzählen.

:-)

https://oeis.org/A007678/a007678_7.png

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In deiner unteren Figur sehe ich acht Dreiecke und ein Viereck, also insgesamt 9 voneinander verschiedene Vielecke.

Meiner Meinung nach müsste die Fragestellung präzisiert werden.

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Ja das stimmt schon, aber ich muss es nicht so machen

Answer 1

Wie finde ich das heraus

Ausprobieren. Zum Beispiel mit GeoGebra.

Answer 2

Du möchtest wissen, in wie viele Gebiete ein n-Eck durch seine Diagonalen maximal zerlegt werden kann. Zeichne auch noch die Fälle n=5 und n=6 und versuche ein Muster zu erkennen. Wenn du das Muster siehst, dann kannst du vermuten, in wie viele Gebiete ein 7-Eck maximal geteilt wird.

Comments

Bei 6 Punkten zähle ich 24 Flächen, die nicht ihrerseits wieder durch Strecken durchzogen sind.

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Bei 6 Punkten zähle ich 24 Flächen

Von einem regelmäßigen n-Eck war nicht die Rede.

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Von einem regelmäßigen n-Eck war nicht die Rede.

Sieht das Gebilde oben in meinem Kommentar für Dich 'regelmäßig' aus? Außerdem habe ich nach dreimal Nachzählen bemerkt, dass ich ein kleines Dreieck vergessen habe ;-) es sind 25.

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Verstehe ich nicht ganz. Also wie viele sind es pro Figur und gibt es dazu eine Formel?

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Nach längerem Nachdenken und Nachlesen in der Online Encyclopedia of Integer Sequences komme ich zu dem Ergebnis, dass es kein Muster gibt, das man entdecken könnte. Eine bündige Formel gibt es offenbar nicht.

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Also wie viele sind es pro Figur? Und kann mir das jemand darstellen?

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Ich habe diese Zählergebnisse:

Punkte	3	4	5	6	7
Gebiete	1	4	11	25	48

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Vielen Dank und da sind alle Vielecke drin oder?

Wie viele sind nur dreiecke?

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Sieht das Gebilde oben in meinem Kommentar für Dich 'regelmäßig' aus?

@Werner

Die OEIS-Folge in deinem Kommentar gilt für regelmäßige Vielecke.

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@ jimmy2007: Ich habe meine Tabelle nochmal nachgebessert. Die Gebiete innerhalb eines 7-Ecks können 3- bis 6-eckig sein. alle sind mitgezählt. Zeichne bitte selbst!

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Für regelmäßige Polygone finde ich diesen Link hilfreich:

https://oeis.org/A006561/a006561.html

Bei einem 9-Eck ist das Nachzählen aber schon eine Herausforderung.

:-)

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Inzwischen habe ich nochmal nachgezählt, statt 48 die Anzahl 49 gezählt und eine Formel (OEIS) gefunden:

Das n-Eck teilen die Diagonalen in maximal \( \frac{n^5-2n^2+5n-2}{2} \) Gebiete.

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Der Term funktioniert nicht

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Der Term funktioniert nicht

ersetze im Term \(n^5\) durch \(n^3\)

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... und beim Dreieck ist \(n=1\), bei 4 Punkten ist \(n=2\), usw.

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Geht auch nicht…

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es muss heißen:

Das n+2-Eck teilen die Diagonalen in maximal \( \frac{n^5-2n^2+5n-2}{2} \) Gebiete.

n	1	2	3	4	5
Anzahl Eckpunkte	3	4	5	6	7
Anzahl Gebiete	1	4	11	25	49

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Sieht das Gebilde oben in meinem Kommentar für Dich 'regelmäßig' aus?

Ich hatte angenommen, du hättest die 24 aus deinem Link über regelmäßige Polygone übernommen.