Es sei A diagonalisierbar mit Eigenwerten |λ1| > |λ2| ≥ |λ3| · · · ≥ |λn| ≥ 0.

Question

Aufgabe:

Es sei A ∈ ℝ^nxn diagonalisierbar mit Eigenwerten |λ₁| > |λ₂| ≥ |λ₃| · · · ≥ |λ_n| ≥ 0.
Sei V = [w_1, · · ·, w_n] die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren als Spalten und ∥x∥_V = ∥V^-1 x∥₂ die                       zugehörige gewichtete Norm.

Sei Rⁿ ∋ x⁽⁰⁾ = \( \sum\limits_{i=1}^{\n}{α_iw_i} \)  = α₁w₁ + r⁽⁰⁾

und

x^(k) := A^kx⁽⁰⁾ = \( \sum\limits_{i=1}^{\n}{β_iw_i} \) = β₁w₁ + r^(k)

zeigen Sie, dass:

1. β_i = α^k_i mit i = 1, . . . , n,
2. r^(k) = A^kr⁽⁰⁾
3. ∥r^(k)∥_V ≤ λ^k₂ ∥r⁽⁰⁾∥_V
4. ∥α₁w₁ + γw∥²_V = α²₁ + γ²∥w∥²_V

für beliebige w ∈ ⟨w₂, . . . , w_n⟩ (lineare Hülle der Eigenvektoren ohne w_i) gilt.

Könnte jemand helfen? Ich habe leider keine Ansätze o.Ä.

LG Blackwolf :)

Comments

Bei deiner Aufgabenstellung stimmt etwas nicht.

Wenn \(w_i\) Eigenvektor zu \(\lambda_i\) ist und \(x^{(0)} = \sum_{i=1}^n\alpha_iw_i\), dann gilt auf jeden Fall \(A^kx^{(0)} = \sum_{i=1}^n\alpha_i\lambda_i^kw_i\).

Das passt schon mal nicht zu deiner Teilaufgabe 1. Außerdem hängen die \(\beta_i\) im Allgemeinen von \(k\) ab.