Welche Seitenlänge hat das Quadrat in Abhängigkeit von a und b?

Question

In einem Quadrat ABCD liegen die rechtwinkligen Dreiecke AEF und ECF (siehe Abbildung). Es sei \( \vec{AE} \) =a,  \( \vec{FC} \) =b und \( \vec{EF} \) =a - b. Welche Seitenlänge hat das Quadrat in Abhängigkeit von a und b?

Comments

Hallo Roland,

https://www.desmos.com/calculator/dbjjfhamro

wegen \(\triangle ABE = \triangle BCF\) ist \(|AB|^2=|BC|^2=a^2+b^2\).

Gruß Werner

PS.: die Punkte \(A\) und \(C\) lassen sich ziehen.

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Hallo Werner,

danke für diesen schönen Betrag zu meiner Aufgabe.

Gruß Roland

Answer 1

Für die Diagonale d gilt

d^2 = (a + b)^2 + (a - b)^2

d^2 = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2

d^2 = 2(a^2 + b^2)

Für die Seitenlänge s gilt:

s^2 + s^2 = d^2

2s^2 = d^2

2s^2 = 2(a^2 + b^2)

s^2 = a^2 + b^2

s = √(a^2 + b^2)

Answer 2

Für die Diagonalenlänge gilt \(d=\sqrt{a^2(1+(\frac{a-b}{a+b})^2)}+\sqrt{b^2(1+(\frac{a-b}{a+b})^2)} \\=(a+b)\sqrt{1+(\frac{a-b}{a+b})^2} \).

(EF=a-b wird im Verhältnis a:b geteilt, dann Pythagoras in beiden Dreiecken.)

Die Seitenlänge erhält man dann mit \( \frac{d}{\sqrt{2}} \).

Comments

Warum nicht einfach  Für die Diagonalenlänge gilt d^2 = (a+b)^2+(a-b)^2 ?

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Gute Frage.

Weil "einfach" einfach einfach ist?

Answer 3

Aloha :)

1) Ziehe die Linie FC runter zum Punkt E.

2) Verschiebe dafür die Linie FE nach rechts zum Punkt C.

Das entsthehende rechtwinklige Dreieck hat hat die Katheten \((a+b)\) und \((a-b)\).

Die Hyptothenuse \(\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}=\sqrt{2(a^2+b^2)}\) ist gleich der Diagonalen des Quadrates.

Die Kantenlänge des Quadrates ist daher \(\sqrt{a^2+b^2}\).

Comments

Tschakabumba: Dir hatte das Prädikat 'Beste Antwort' zugestanden. Leider warst du eine Sekunde zu spät.

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Ich finde die Aufgabe sehr schön, weil man sie durch Hingucken im Kopf lösen kann. So kreative Aufgaben mag ich sehr.

Vielen Dank dafür

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Tatsächlich ist das ja auch genau der Lösungsweg, den ich genommen habe, auch wenn ich den offensichtlichen Ansatz für die Diagonalenlänge nicht ausgeführt habe und auch erstmal nur die Quadrate hab stehen lassen, weil man erst ganz am Ende nur einmal die Wurzel ziehen muss.