Aloha :)
Hier soll eine Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g\) optimiert werden:$$f(x;y)=x^4y^2\quad;\quad g(x;y)=x^4+y^4=1$$
Das Bilden der Lagrange-Funktion zur Anwendung des Lagrange-Formalismus ist in der Regel die komplizierteste Methode für solche Probleme. Daher verwende ich die nie. Die Kern-Idee von Lagrange ist, dass der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein muss.
Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, bedeutet dies:$$\operatorname{grad}f(x,y)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{4x^3y^2}{2x^4y}=\lambda\binom{4x^3}{4y^3}$$
Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die erste Koordinate durch diejenige der zweiten Koordinate:$$\frac{4x^3y^2}{2x^4y}=\frac{\lambda\,4x^3}{\lambda\,4y^3}\implies\frac{2y}{x}=\frac{x^3}{y^3}\implies \pink{x^4=2y^4}$$
Die pinke Lagrange-Bedingung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$1=x^4+y^4=2y^4+y^4=3y^4\implies y^4=\frac13\implies y^2=\sqrt{\frac13}\implies y=\pm\sqrt[4]{\frac13}$$$$\pink{x^4=2y^4}=\frac23\implies x^2=\sqrt{\frac23}\implies x=\pm\sqrt[4]{\frac23}$$
Das ergibt 4 Extrempunkte:\(\quad K\left(\pm\sqrt[4]{\frac23}\bigg|\pm\sqrt[4]{\frac13}\right)\)
Alle haben denselben Funktionswert:\(\quad f_{\text{max}}=\frac{2}{3\sqrt3}\)
Hier ist \(x;y\in[-1;1]\). Die Differentialrechnung liefert Extrema jedoch nur im Inneren des Definitionsbereichs, also für \(x;y\in(-1;1)\).
Wegen \(f(x;y)\ge0\) liegen an den Randpunkten \((\pm1|0)\) und \((0|\pm1)\) mit \(f_{\text{min}}=0\) noch Rand-Minima vor, die du in der Lösung erwähnen solltest.
