Zeigen Sie \forall \lambda \in \mathrm{EW}(U): \lambda \neq 0

Question

1. Sei \( U \in \mathbb{R}^{n, n} \) eine orthogonale Matrix. Zeigen Sie
\( \forall \lambda \in \mathrm{EW}(U): \lambda \neq 0 \)


2. Sei \( v \in \mathbb{C}^{n} \backslash\{0\} \) sowohl Eigenvektor von \( D \in \mathbb{C}^{n, n} \) als auch von \( E \in \mathbb{C}^{n, n} \). Zeigen Sie, dass \( v \) ein Eigenvektor von \( (D+E) \) ist.

Answer 1

Zu 1.:

Sei \(\lambda=0\in EW(U)\), dann gibt es \(v\neq 0\) in \(\mathbb{R}^n\) mit

\(U\cdot v=0\cdot v=0\), d.h. \(U\) hat nicht maximalen Rang,

ist also nicht invertierbar und daher erst recht nicht orthogonal.

Zu 2.:

Seien \(\lambda\) und \(\mu\) die zugehörigen Eigenwerte,

dann gilt \((C+D)\cdot v=C\cdot v+D\cdot v=\lambda v+\mu v=(\lambda+\mu)v\).