Aloha :)
zu a) Wir stellen uns die Situation graphisch dar:
~plot~ x=1 ; 1/x^2 ; x/8 ; [[0|3|-0,2|1,2]] ~plot~
Es geht um die Berechnug der Fläche in dem blau-rot-grünem "Dreieck".
zu b) Allgemein erhältst du die Fläche zwischen 2 Funktionen \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) und \(g(x)=\frac x8\) indem du über den Betrag der Differenz beider Funktionen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integrierst.
Die Betragszeichen konnten wir weglassen, da aus der Skizze klar ist, dass \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) oberhalb von \(g(x)=\frac x8\) verläuft. Die linke Grenze ist kein Schnittpunkt, sondern durch die Aufgabenstellung bei \(x=1\) festgelegt. Die rechte Grenze ermitteln wir nun als Schnittpunkt der beiden Kurven:$$f(x)=g(x)\implies\frac{1}{x^2}=\frac x8\implies x^3=8\implies x=2$$Das führt uns auf das gesuchte Integral::$$F=\int\limits_1^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac x8\right)\,dx$$
zu c) Wir können die "Dreieck"-Fläche abtasten, indem wir zunächst ein \(x\in[1;2]\) wählen und dann fest halten. Für dieses \(x\) ist dann \(y\) nach unten durch \(y\ge\frac x8\) beschränkt und nach oben durch \(y\le\frac{1}{x^2}\). Das führt zu dem Integral:$$F=\int\limits_{x=1}^2\;\,\int\limits_{y=\frac x8}^{\frac{1}{x^2}}\,dy\,dx$$
zu d) Bei der Berechnung des Doppelintegrals sollte nach der Integration über \(dy\) als Zwischenschritt das Integral von Teil (b) herauskommen. Mal sehen, ob das stimmt:
$$F=\int\limits_{x=1}^2\left[y\right]_{y=\frac x8}^{\frac{1}{x^2}}\,dx=\int\limits_{x=1}^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac x8\right)dx=\left[-\frac 1x-\frac{x^2}{16}\right]_1^2=\left[\frac 1x+\frac{x^2}{16}\right]_2^1=\frac{5}{16}$$
