Wo befinden sich die Flugzeuge nach 10 min?

Question

Aufgabe:

Ein Flugzeug fliegt bezogen auf ein räumliches Koordinatensystem in Richtung der positiven X-Achse. Seine Geschwindigkeit beträgt 100 m/s. Gleichzeitig steigt ein Ballon mit der Geschwindigkeit 5 m/s vertikal nach oben. Zu Beobachtungsbeginn befinden sich der Ballon im Punkt B(-40/130/20) und das Flugzeug im Punkt F(300/-1000/800); alle Koordinaten in m.

a)Wo befinden sich die Fahrzeuge" nach 10 Minuten?

b) Wie weit sind sie zu Beobachtungsbeginn voneinander entfernt? c) Zeigen Sie, dass die Flugbahnen sich nicht kreuzen.

c) Zeigen sie das sich die Flugzeuge nicht kreuzen.

d) Wie nah kommen sich die Flugzeuge" höchstens?

Problem:

Könnte mir jmnd helfen wie ich hier vorgehen muss? Und auch den Lösungsweg zeigen? Weil ich komm nicht wirklich weit.

Answer 1

Text erkannt:

a) Flugzeug: \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}300 \\ -1000 \\ 800\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 100 \\ 0\end{array}\right) \); Ballon: \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}-40 \\ 130 \\ 20\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5\end{array}\right) \).
Da die beiden windschiefen Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) parallel zur \( \mathrm{x}_{2} \mathrm{x}_{3} \)-Ebene sind, lässt sich ihr Abstand \( d \) als Differenz der \( x_{1} \)-Werte der Stützpunkte berechnen: \( d=300-(-40)=340 \).
Der Abstand der beiden Flugbahnen beträgt \( 340 \mathrm{~m} \).
b) Zum Zeitpunkt \( t \) befindet sich der Ballon im Punkt \( B_{t}(-40|130| 20+5 t) \), das Flugzeug im Punkt \( F_{t}(300|-1000+100 t| 800) \).
Der Abstand von Ballon und Flugzeug zum Zeitpunkt t ist:
Der GTR liefert das Minimum von \( \mathrm{d}(\mathrm{t}) \) für \( \mathrm{t} \approx 11,7 \) mit \( \mathrm{d}_{\min } \approx 799 \).
Ballon und Flugzeug nähern sich bis auf etwa \( 800 \mathrm{~m} \).
c) Zum Zeitpunkt \( t^{\star}=20 \) befindet sich der Ballon im Punkt \( B^{\star}(-40|130| 120) \).
Die Sichtlinie durch die Punkte \( S \) und \( B^{*} \) ist die Gerade \( k: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-100 \\ -200 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 11 \\ 4\end{array}\right) \).
Schnitt der Sichtlinie k mit der Flugzeugbahn g liefert \( s=200 \) und \( t=30 \).
Das Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt \( t^{\star} \) also im Punkt \( F^{\star}(300|2000| 800) \).
Der vom Flugzeug in dieser Zeit zurückgelegte Weg in Meter beträgt \( \left|\overrightarrow{F^{*}}\right|=3000 \).
Die Geschwindigkeit beträgt somit: \( v_{F}{ }^{\star}=\frac{3000}{20} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=150 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \).

Comments

Hey, vielen lieben Dank! Wäre es möglich, dass sie ihren Rechenweg von zuvor nochmal reinstellen könnten? Weil dort sind Sie so vorgegangen wie ich es zuvor auch probiert hab. :)

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Leider hast du die Aufgaber verkehrt gestellt und daher war ich zuerst davon ausgegangen das Flugzeug bewegt sich in x-Richtung. In der Aufgabe steht aber x2-Richtung.

Daher war mein Ergebnis zuerst falsch.

Ich habe mich dann aber daran erinnert das ich die Aufgabe kenne und habe die Lösung eingestellt.

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Achso, okay danke! Und wie kommt man dann bei d) auf die Lösung?

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und warum macht man bei b) jetzt noch +5t und 100t ?

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Flugzeug

X = [300, -1000, 800] + t·[0, 100, 0] = [300, 100·t - 1000, 800]

Ballon

X = [-40, 130, 20] + t·[0, 0, 5] = [-40, 130, 5·t + 20]

Verbindungsvektor

BF = [300, 100·t - 1000, 800] - [-40, 130, 5·t + 20] = [340, 100·t - 1130, 780 - 5·t]

Abstand²

d^2 = [340, 100·t - 1130, 780 - 5·t]^2
d^2 = 10025·t^2 - 233800·t + 2000900

Ableitung gleich Null setzen

(d^2)' = 20050·t - 233800 = 0 --> t = 11.66

Minimalen Abstand berechnen

d^2 = 10025·(11.66)^2 - 233800·(11.66) + 2000900
d^2 = 637746.89
d = 798.6 m

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und warum macht man bei b) jetzt noch +5t und 100t ?

Weil das die Koordinaten vom Flugzeug und Ballon entlang der Flugbahn sind. Ich habe oben nur B unf F genommen und habe t trotzdem mit reingeschrieben.