Zeigen Sie, dass (\begin{array}{c}1 \\ 5 \\ -2\end{array}),(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2\end{array}) und …

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass \( \left(\begin{array}{c}1 \\ 5 \\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \) linear unabhängige Vektoren des \( \mathbb{R}^{3} \) sind.
b) Für welche Werte von \( t \in \mathbb{R} \) sind die Vektoren \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ t\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ t \\ 1\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ t^{2}\end{array}\right) \) linear abhängig über \( \mathbb{R} \) ?
c) Zeigen Sie, dass \( 1, i \) und \( \sqrt{2} \) linear unabhängige Vektoren im \( \mathbb{Q} \)-Vektorraum \( \mathbb{C} \) sind.

Problem/Ansatz:

bei a) kriege ich die einheitsmatrix raus also linear abhängig?

bei b) kriege ich auch eine einheitsmatrix raus

c) verstehe ich net

kann wer helfen?

Answer 1

a)

DET([1, 5, -2; 1, -3, 2; 1, 0, 0]) = 4

Da die Determinante ungleich 0 ist sind die Vektoren linear unabhängig.

b)

DET([1, -1, t; 1, t, 1; 1, 0, t^2]) = t^3 - 1 = 0 --> t = 1

c)

Zeige das für a, b, c ∈ Q die Gleichung a * 1 + b * i + c * √2 = 0 nur die Lösung a = b = c = 0 besitzt.

Mache ein Widerspruchsbeweis.

Wähle also b ≠ 0 und führe die Annahme zu einem Widerspruch.

Wähle dann c ≠ 0 und führe auch dies zu einem Widerspruch.

Comments

Was macht man den bei b≠0? Alles außer b=0 setzten?

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Kannst du die Gleichung

a * 1 + 1 * i + c * √2 = 0
a * 1 + i + c * √2 = 0
a * 1 + c * √2 = - i

Lösen wenn a und c rationale Zahlen (Brüche) sind?

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verstehe die Fälle mit b≠0 nicht, ich habe da einen anderen Ansatz. Wenn ich die Gleichung a * 1 + b * i + c * √2 = 0 ⇔

b*i + (a + c\( \sqrt{2} \))=0 habe, dann muss ich ja nur zeigen, dass (a + c\( \sqrt{2} \)) nicht das Inverse von b*i sein kann oder? Wie kriege ich das hin?

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Hallo

mit invers meinst du negativ?

das eine ist eine reelle Zahl, das andere ein rein imaginäre, die können nur gleich sein, wenn rechts 0 steht und links b=0

lul

Answer 2

Hallo

was du damit meinst du kriegst die Einheitsmatrix raus verstehe ich nicht. Wenn du die Vektoren als Zeilen (oder Spalten) schreibst und die Matrix auf Dreiecksform bringst ,sind die Vektoren unabhängig, wenn keine 0 Zeile entsteht, wenn eine (oder 2) entsteht sind sie abhängig

das kann nicht für alle t in b) stimmen

c) du kannst mit rationalen Zahlen q1*1+q2*√2+q3*i=0 nur  mit q1=q2=q3=0  erfüllen, deshalb sind die über Q linear unabhängig in C

Gruß lul