Zeigen oder widerlegen Sie, dass sich für jedes epsilon ein N finden lässt

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Folge

$$a_n= \frac{n^2}{2n^2+n}$$

Zeigen oder widerlegen Sie, dass sich für jedes $$\epsilon >0$$ ein $$N \in \mathbb{N}$$ finden lässt, so dass $$|a_n-1|< \epsilon$$ für alle $$n \ge N$$

Problem/Ansatz:

$$|\frac{n^2}{2n^2+n} -1| < \epsilon$$

= $$|n^2/(2n^2+n)- (2n^2+n)/(2n^2+n)| <\epsilon$$

=$$ |-n^2+n/(2n^2+n)| < \epsilon$$

=$$|n(-n+1)/n(2n+1)|< \epsilon$$

=$$|-n+1/(2n+1)| < \epsilon$$

Ist das richtig? Weiter komme ich nicht

Comments

Für alle \(n\in\N\) gilt$$\lvert a_n-1\rvert=\left\lvert\frac{n^2}{2n^2+n}-1\right\rvert=\frac{n+1}{2n+1}=\frac12\cdot\frac{2n+2}{2n+1}>\frac12.$$

Answer 1

a_n-1=\( \frac{n}{2n+1} \)-1<\( \frac{n+1/2}{2(n+1/2)} \)-1=1/2-1<ε (ε>0).

Comments

Also ist die ein Widerspruch

---

Was hat diese Antwort mit der Frage zu tun?

---

Nein, das ist kein Widerspruch. Roland hat erstmal nur nach oben abgeschätzt. Die letzte Ungleichheit mit \(...<\varepsilon\) lässt sich aber nicht schlussfolgern und hilft hier auch nicht weiter. Es ist sinnvoller, eine Abschätzung nach unten durchzuführen, um so ein spezielles \(\varepsilon>0\) zu finden, sodass man daraus schließen kann, dass der Betrag \(|a_n-1|\) eine Mindestgröße hat, also nicht beliebig klein wird, wenn \(n\) größer wird.

Answer 2

Hallo :-)

Leider machst du bei deinen Umformungen falsche Klammerung und ein Vorzeichenfehler.

Du willst ja folgendes zeigen oder widerlegen:

$$ \forall \varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon}\in \N \ \forall n\in \N_{\geq N_{\varepsilon}}: |a_n-1|<\varepsilon. $$

Dazu erstmal ein wenig Umformungen:

$$ |a_n-1|=\left| \frac{n^2}{2n^2+n}-1 \right|=\left| \frac{n^2}{2n^2+n}+\frac{-(2n^2+n)}{2n^2+n} \right|=\left| \frac{-n^2-n}{2n^2+n} \right|= \frac{n^2+n}{2n^2+n}\\= \frac{n+1}{2n+1}\stackrel{n\geq 1}{\geq} \frac{n+1}{3n}\geq \frac{n}{3n}=\frac{1}{3}. $$

Sieht so aus, das die Behauptung falsch ist. Also zeigt man jetzt die Negation der obigen Aussage:

$$ \exists \varepsilon>0 \ \forall N_{\varepsilon}\in \N \ \exists n\in \N_{\geq N_{\varepsilon}}: |a_n-1|\geq\varepsilon. $$

Finaler Beweis:

Wähle \(\varepsilon=\frac{1}{3}\) und sei \(N_{\varepsilon}\in \N\) beliebig und wähle \(n=N_{\varepsilon}\) mit \(n\geq 1\). Dann gilt:

$$ |a_n-1|=\left| \frac{n^2}{2n^2+n}-1 \right|=\left| \frac{n^2}{2n^2+n}+\frac{-(2n^2+n)}{2n^2+n} \right|=\left| \frac{-n^2-n}{2n^2+n} \right|= \frac{n^2+n}{2n^2+n}\\= \frac{n+1}{2n+1}\stackrel{n\geq 1}{\geq} \frac{n+1}{3n}\geq \frac{n}{3n}=\frac{1}{3}=\varepsilon. $$