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Aufgabe:

A ⊂ ℝ ist nach oben beschränkt und hat kein Maximum

zu zeigen ist dass es für jedes ε eine strenge montone und konvergente Folge gibt in A ∩ (sup(A) − ε, sup(A))


Problem/Ansatz:

ich suche eine konvergente Folge für die die Eigenschaften erfüllt sind

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Dieselbe Frage?, dazu hab ich nichts gefunden

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Vorüberlegung. Ist \(\varepsilon > 0\) und \(s\) eine obere Schranke von \(A\) und \(A\cap (s-\varepsilon, s)=\emptyset\), dann ist \(s-\varepsilon\) eine obere Schranke von \(A\) und somit ist \(s\) nicht Supremum von \(A\).

Sei nun \(\varepsilon_n > 0\) und seien

        \(a_0,\dots,a_n\in A\cap (\sup(A)-\varepsilon, \sup(A))\)

mit \(a_0 < \dots < a_n \).

Sei \(\varepsilon_{n+1} = \sup(A) - a_n\). Laut Vorüberlegung ist dann

        \(A\cap (\sup(A)-\varepsilon_{n+1}, \sup(A))\neq \emptyset\).

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Zählt dies als vollständiger Beweis?

Was bedeuten die letzten zwei Zeilen?

  1. Sei \(\varepsilon > 0\)

    Laut Vorüberlegung ist

            \(A \cap (\sup(A) −\varepsilon, \sup(A))\neq \emptyset\).

    Wähle also ein

            \(a_0 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon, \sup(A))\)

    aus.

  2. Setze \(\varepsilon_{1} = \sup(A) - a_0\).

    Laut Vorüberlegung ist

          \(A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A))\neq \emptyset\).

    Wähle also ein \(a_1 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A))\) aus.

    Wegen \(\varepsilon_{1} = \sup(A) - a_0\) ist \(\sup(A) −\varepsilon_1 = a_0\) und somit

            \(a_1 > a_0\).

  3. Setze \(\varepsilon_{2} = \sup(A) - a_1\).

    Laut Vorüberlegung ist

          \(A \cap (\sup(A) −\varepsilon_2, \sup(A))\neq \emptyset\).

    Wähle also ein \(a_2 \in A \cap (\sup(A) −\varepsilon_1, \sup(A))\) aus.

    Wegen \(\varepsilon_{2} = \sup(A) - a_1\) ist \(\sup(A) −\varepsilon_2 = a_1\) und somit

          \(a_2 > a_1\).

  4. ...

Vielen Dank!

Ist das also dasselbe nur in ausführlicher?

Ja. Die Idee ist, dass zwischen dem letzten bisher konstruierten Glied der Folge und dem Supremum von \(A\) immer noch ein weiteres Element von \(A\) existiert.

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung hab es jetzt verstanden

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