Zeigen Sie, dass zu jedem P ∈ ℝ^{2} genau ein Tripel (p_{A}, p_{B}, p_{C}) ∈ ℝ^{3} mit

Question

ich brauche diese Teilaufgabe für die nächste Aufgabe

8.2 Seien \( A, B, C \in \mathbb{R}^{2} \) in allgemeiner Lage. Zeigen Sie, dass zu jedem \( P \in \mathbb{R}^{2} \) genau ein Tripel \( \left(p_{A}, p_{B}, p_{C}\right) \in \mathbb{R}^{3} \) mit

\( P=p_{A} A+p_{B} B+p_{C} C \text { und } p_{A}+p_{B}+p_{C}=1 \)
existiert.

Vllt kann mir ja jemand helfen.

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Answer 1

Ich identifiziere Punkte der reellen Ebene \(E:=\mathbb{R}^2\) mit

den entsprechenden Ortsvektoren. Die allgemeine Lage

der 3 Punkte A,B,C bedeutet, dass \(\{A-C,B-C\}\) linear

unabhängig ist, also eine Basis von \(E\).

Es gibt daher eindeutig bestimmte reelle Zahlen

\(p_A\) und \(p_B\), so dass

\(P-C=p_A(A-C)+p_B(B-C)\) ist, also

\(P=p_A(A-C)+p_B(B-C)+C=p_AA+p_BB+(1-p_A-p_B)C\),

q.e.d.