gibt es Nullteiler außerhalb eines Restklassenrings?

Question

Aufgabe:

gibt es Nullteiler außerhalb eines Restklassenrings?

Problem/Ansatz:

Die Definition eines Nullteilers besagt ja dass a und b ungleich 0 sein müssen und a*b=0 ergeben muss. Wenn ich nun die Nullteiler der ganzen Zahlen bestimen soll, ist das nur eine Scherzaufgabe, oder nicht?

Answer 1

Der Ring \(\mathbb{Z}\) besitzt natürlich keine Nullteiler.

wohl aber der Ring \(R:=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\), in welchem

komponentenweise gerechnet wird:

\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\) und \((a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot c, b\cdot d)\)

Hier noch ein Beispiel:

\(R=\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\0&a\end{array}\right): \; a,b\in\mathbb{R}\}\)

mit der normalen Matrizen-Addition und -Multiplikation

ist ein kommutativer Ring mit Nullteilern.

Comments

gibt es zu \(\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\0&a\end{array}\right): \; a,b\in\mathbb{R}\}\) aber ein Element mit dem wir in der multiplikation 0 erreichen außer der Nullmatrix?

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Ja. Versuche es mal mit \(A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\)

Was ist denn \(A\cdot A\) ?

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Hallo nochmal, \(E=\left(\begin{array}{cc}0&a\\0&0\end{array}\right)\) ist das Ergebnis, oder mache ich was falsch?

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Da sollte die 0-Matrix rauskommen. Irgendwo machst du

was falsch. Und wo kommt denn das a her?