orthgonale Matrix finden die A diagonalisiert

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sei die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right) \in M(3,3 ; \mathbb{R}) \). Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix \( B^{t} \), so dass \( B A B^{t} \) eine Diagonalmatrix ist, und geben Sie diese Diagonalmatrix an.

Problem/Ansatz:

Ich hatte hier die EIgenwerte bestimmt und dann die Eigenvektoren zueinander orthogonal gemacht aber das hat nicht geklappt :D Also Eigenwerte sind 4, -2 , -2 und die Eigenvektoren (1,1,1) zu 4 und zu -2 (-1,0,1) und (0,-1,1).

Dann habe ich einen von den für EW -2 orthognal zu dem anderen aus EW -2 gemacht und da habe ich (-1,0,1) orthogonal gemacht. Das ist dann (-1;0,5;0,5).

Ich glaube ich muss die noch normieren. Aber die haben alle ja nicht dieselbe Länge. :D

Answer 1

Dein Vorgehen ist gut und soweit richtig. Es wäre allerdings besser konkret zu sagen, welche Vektoren Du nun nimmst und wie Deine Matrix aussehen soll (die Sprechweise "einen von den... zu den anderen" sorgt dafür, dass der Leser raten muss, was Du meinst.

Also, wenn Du die richtigen Vektoren in der Matrix zusammenstellst, ist es schonmal gut. Aber noch nicht ganz fertig. Deine Vektoren sind zwar orthogonal zueinander, aber nicht orthonormal. Daher wird die Matrix nicht orthogonal (die Sprechweise ist (leider) hier verwirrend: Eine Matrix heißt orthogonal, wenn die Spalten orthoNORMAL sind). Dazu musst Du aber nur noch Deine Vektoren jeweils auf Länge 1 normieren. Mach das, und schreib B und D komplett auf und mach damit auch die Probe.

Achso, sehe gerade, Du hast schon gemerkt, dass Du noch normieren musst. Gut. Jeder Vektor kriegt seinen eigenen Faktor (es wird nicht die Matrix normiert, sondern jeder Vektor separat und dann erst kommen die Vektoren rein ins B).

Comments

achja stimmt. :D man kann ja auch einfach die EInträghe der einzelnen Vektoren dann mit dem Normierungsfaktor normieren und dann alle in die besagte Matrix B so eintragen :D Vielen dank!

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Ich habe die normiert:

(-1;0,5;0,5) mal $$\frac{1}{\sqrt{1,5}}$$

(1,1,1) mal $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$

(0,-1,1) mal $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$

und es klappt :)

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Freut mich, ist genau richtig so.