Funktion mehrerer Variablen, was ist zu tun? Produktionsfunktion: y(x1, x2) = 880 + 8x1 + 20x2 – 2x1^2 – 5x2^2+ 6x1*x2

Question

Die Herstellungsmenge y eines Produktes ist von den Einsatzmengen x1 und x2 zweier Produktionsfaktoren abhängig.

Diese Abhängigkeit sei durch folgende Produktionsfunktion gegeben:

y(x1, x2) = 880 + 8x1 + 20x2 – 2x1^2 – 5x2^2+ 6x1*x2 

Bestimmen Sie diejenige Faktorkombination, für die sich ein Produktionsmaximum ergibt, weisen Sie nach, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt und geben Sie die maximale Herstellungsmenge an.

Ich habe ein riesen großes Fragezeichen über meinem Kopf bei dieser Aufgabe. Möchte mir vielleicht jemand helfen? Was ist hier genau zutun? Danke

Answer 1

  die Aufgabe kann mit partieller Differentiation gelöst werden

  der Übersichtlichkeit halber ersetze ich
  a = x1
  b = x2

 f  ( a, b ) = 880 + 8 * a + 20 * b – 2*a^2 – 5 * b^2 + 6 * a *b
ableiten nach a, b = const.
f ´ ( a ) = 8 - 4 * a + 6 * b
ableiten nach b, a = const.
f ´ ( b ) = 20 - 10 * b + 6 * a
Extremwert Ableitung = 0
f ´ ( a ) = 8 - 4 * a + 6 * b = 0
4 * a = 8 + 6 * b
a = 2 + 1.5 * b
eingesetzt  in
f ´ ( b ) = 20 - 10 * b + 6 * a = 0
f ´ ( b ) = 20 - 10 * b + 6 * ( 2 + 1.5 * b ) = 0
20 - 10 * b + 12 + 9 * b = 0
b = -20 + 12 = 32
b = 32
a = 2 + 1.5 * b
a = 2 + 1.5 *  32
a := 50
Art des Extremwerts, 2.Ableitung
f ´´ ( a ) = - 4
f ´´ ( b ) = - 10
also Hochpunkt ( Maximum )
x1 = 50
x2 = 32
Ihr werdet sicherlich die partieller Differentiation im
Unterricht auch besprechen. Diese hier zu erklären
würde zu weit führen.

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

Answer 2

Notwendige Bedingung wär doch das die partiellen Ableitungen nach x1 und x2 jeweils Null werden. Im folgenden Nenne ich mal x1 = a und x2 = b.

y = 880 + 8·a + 20·b - 2·a^2 - 5·b^2 + 6·a·b

dy/da = - 4·a + 6·b + 8 = 0

dy/db = 6·a - 10·b + 20 = 0

Wir haben ein lineares Gleichungssystem was du lösen kannst.
Ich komme auf die Lösung a = x1 = 50 und b = x2 = 32

Du solltest dann noch zeigen das es auch tatsächlich um ein Maximum handelt.

Comments

@Mathecoach
" Im folgenden Nenne ich mal x1 = a und x2 = b. "
Derselbe Gedanke kam mir auch.
mfg Georg