Lineare Abbildung bestimmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4) Es sei \( \phi:\left|\mathrm{R}^{3} \rightarrow\right| \mathrm{R}^{3} \) eine lineare Abbildung mit \( \phi\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \phi\left(\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \) und
\( \phi\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie \( \phi\left(\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)\right) \).
b) Schreiben Sie die Abbildung in Matrixform.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich denn Aufgabenteil a lösen? Ich habe da keinen Lösungsansatz.

Answer 1

Aloha :)

zu Teil a) Bestimmung des Bildes von \((2;2;2)^T\):

$$\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+\frac23\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$$Wegen der Linearität der Abbildung \(\phi\) gilt:$$\small\phi\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=2\!\cdot\!\phi\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\phi\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}+\frac23\!\cdot\!\phi\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=2\!\cdot\!\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+\frac23\!\cdot\!\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}$$

zu Teil b) Bestimmung der Abbildung \(\phi\) in Matrixform \(M\):

Wir wissen, wie die Abbildung \(\phi\) bzw. die Matrix \(M\) auf drei Vektoren wirkt:$$M\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad M\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\quad;\quad M\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$$Das können wir zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$M\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0\\0 & 4 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)$$die wir nach \(M\) auflösen können:$$M=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0\\0 & 4 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Answer 2

Es ist

        \(\begin{aligned} & \phi\left(\begin{pmatrix}2\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\right)\\ = & \phi\left(2\cdot\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}+\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}\right) \end{aligned}\)

Verwende jetzt die Linearität.

Answer 3

\(\phi((0,1,0)^T=1/2\phi(2(0,1,0)^T)=1/2\phi((0,2,0)^T)=1/2(0,4,0)^T=(0,2,0)^T\),

\(\phi((0,0,1)^T)=1/3\phi((0,0,3)^T)=1/3(0,3,0)^T=(0,0,1)^T\)

Also \(\phi((2,2,2)^T)=\phi((2(1,0,0)^T+2(0,1,0)^T+2(0,0,1)^T)=\)

\(=2\phi((1,0,0)^T)+2\phi((0,1,0)^T)+2\phi((0,0,1)^T)=\)

\(=2(0,0,0)^T+2(0,2,0)^T+2(0,0,1)^T=(0,4,2)^T\)