Riemann -Integral Aufgabe

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Seien \( a, b \in \mathbb{R}, a<b \), sowie eine stetige Funktion \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben. Beweisen Sie die folgende Aussage: Falls für alle stetigen Funktionen \( g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(a)=g(b)=0 \) gilt dass \( \int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \), dann ist \( f(x)=0 \) für alle \( x \in[a, b] \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Sei \(f(x)\neq 0\) für ein \(x\in [a,b]\).

Sei \(x_0\in (a,b)\) mit o.B.d.A. \(f(x_0) > 0\).

Seien \(x_1,x_2 \in (a,b)\) mit \(x_1 < x_0 < x_2\) und \(f(x) > 0\) für alle \(x \in \left[x_1,x_2\right]\).

Sei \(g:[a,b]\to \mathbb{R}\) mit

    \(g(x) = \begin{cases}\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)&x\in \left[x_1,x_2\right]\\0&\text{sonst.}\end{cases}\)

Dann ist \( \int \limits_{a}^{b} f(x) g(x)\,\mathrm{d} x\neq 0 \).

Comments

Oder g = f* (x-a)*(b-x)

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Funktionssymbole die nicht verraten, auf welche Variable(n) sie sich beziehen, haben keinen Sinn.

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