Wie findet man die Berührungspunkte von f(x)=(x-6)^2+1 und g(x)=(x+7)^2+4 heraus?

Question

Aufgabe:

Berührungspunkte herausfinden:

1. f(x) =(x-6)²+1

 g(x) = (x+7)²+4

2. f(x) = (x+6)²+3,5

  g(x) = -(x+7)²+4

Problem/Ansatz:

Wie findet man Berührungspunkte generell heraus

Comments

Was soll berührt werden? Die Funktionsgraphen einander, oder ein Funktionsgraph die x-Achse, oder sonstetwas?

Answer 1

Aloha :)

An einem Berührpunkt \(x_0\) von zwei Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) müssen die Funktionswerte gleich sein und die beiden ersten Ableitungen müssen gleich sein (sonst würden sich die Funktionen schneiden und nicht nur berühren). Das heißt formal:$$f(x_0)=g(x_0)\quad\land\quad f'(x_0)=g'(x_0)$$

In dem ersten Beispiel gibt es keinen Berührpunkt, denn:$$f'(x)=2(x-6)=2x-12\quad;\quad g'(x)=2(x+7)=2x+14$$Gleichsetzen der ersten Ableitungen liefert:$$f'(x)=g'(x)\implies2x-12=2x+14\stackrel{-2x}{\implies}-12=14\quad\text{Widerspruch}$$

Im zweiten Beispiel stehen die Chancen besser. Wir schauen zunächst, ob es Punkte gibt, bei denen die ersten Ableitungen gleich sind:$$f'(x)=2(x+6)=2x+12\quad;\quad g'(x)=-2(x+7)=-2x-14$$Gleichsetzen der ersten Ableitungen liefert:$$f'(x)=g'(x)\implies2x+12=-2x-14\stackrel{+2x-12}{\implies}4x=-26\stackrel{\div4}{\implies}x=-\frac{13}{2}$$Wir haben also tatsächlich einen Berührpunkt-Kandidaten gefunden. Jetzt müssen nur noch die Funktionswerte gleich sein:$$f\left(-\frac{13}{2}\right)=\left(-\frac12\right)^2+\frac72=\frac14+\frac{14}{4}=\frac{15}{4}$$$$g\left(-\frac{13}{2}\right)=-\left(\frac12\right)^2+4=-\frac14+\frac{16}{4}=\frac{15}{4}$$Die Funktionen berühren sich also im Punkt \(\left(-\frac{13}{2}\big|\frac{15}{4}\right)\).

Answer 2

\(f(x)=(x + 6)^2 + 3,5 \)

\(S_1(-6|3,5)\)

\(g(x)=-(x + 7)^2  = 0,5\)

\(g(x)=-(x + 7)^2  +4\)

\(S_2(-7|4)\)

Der Berührpunkt liegt in der Mitte der Scheitelpunktkoordinaten

\(B(\frac{-6-7}{2}|\frac{4+3,5}{2})\) → \(B(-6,5|3,75)\)

Es entzieht sich vorerst meiner Kenntnis, ob dies immer gilt.

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Der Berührpunkt liegt in der Mitte der Scheitelpunktkoordinaten

Es entzieht sich vorerst meiner Kenntnis, ob dies immer gilt.

Das Verhältnis der quadratischen Koeffizienten der Parabel-Funktion ist umgekehrt proportional zum Verhältnis der Offsets der beiden Scheitelpunkte zum Berührpunkt.

https://www.desmos.com/calculator/82jfkhpiq4

Ist \(p_1(x)= a_1(x-x_1)^2 + y_1\) und \(p_2(x)=a_2(x-x_2)^2 +y_2\) und existiert ein Berührpunkt bei \(x_b\), so gilt$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{x_b-x_2}{x_b-x_1} \implies x_b = \frac{x_1a_1 - x_2a_2}{a_1-a_2}$$In der Aufgabe 2.) ist \(a_2=-a_1\), deshalb liegt \(x_b\) im arithmetischen Mittel der Scheitelpunkte.

Das folgt im Grunde schon aus der Ähnlichkeit von Parabeln. Daraus folgt dann auch, dass der Berührpunkt \(B\) auf der Geraden durch die Scheitelpunkte liegt.

Answer 3

1. Funktionsterme gleichsetzen
2. Ableitungen gleichsetzen
   
3. Gleichungssystem lösen
   

Falls du noch keine Differenzialrechnung hattest, dann kannst du eine Besonderheit von quadratischen Funktionen verwenden: zwei quadratische Funktionen berühren sich genau dann, wenn sie nur einen gemeinsamen Punkt haben (Funktionsterme gleichsetzen) und unterschiedliche Öffnungsrichtung haben.

Comments

zwei quadratische Funktionen berühren sich genau dann, wenn sie nur einen gemeinsamen Punkt haben (Funktionsterme gleichsetzen) und unterschiedliche Öffnungsrichtung haben.

@oswald:

Das ist eine falsche Aussage.

---

Einfacher:

x² und 2x²

:-)

Answer 4

Berührpunkt oder Schnittpunkt ?

Gleichsetzen f(x) = g(x)

(x - 6)^2 + 1 = (x + 7)^2 + 4

x^2 - 12x + 36 + 1 = x^2 + 14x + 49 + 4

- 26x = 16 

x = - 8/13 → Einfache Lösung und damit keine Berührstelle

f(- 8/13) = g(- 8/13) = 7565/169 → P(- 8/13 | 7565/169)

Dieses ist nur ein Schnittpunkt und kein Berührpunkt

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(x + 6)^2 + 3.5 = - (x + 7)^2 + 4

x^2 + 12x + 36 + 3.5 = - (x^2 + 14x + 49) + 4

x^2 + 12·x + 39.5 = - x^2 - 14·x - 45

2·x^2 + 26·x + 84.5 = 0

x^2 + 13·x + 42.25 = 0

(x + 6.5)^2 = 0

x = - 6.5 → Zweifache Lösung und damit eine Berührstelle

f(- 6.5) = g(- 6.5) = 3.75 → P(- 6.5 | 3.75)

Dieses ist tatsächlich ein Berührpunkt.

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Man darf auch in der Lage sein, sich die Graphen selber zu skizzieren oder skizzieren zu lassen:

~plot~ (x-6)^2+1;(x+7)^2+4;[[-15|15|-1|50]] ~plot~

Answer 5

Hallo,

meiner Meinung nach ist es am einfachsten, beide Terme voneinander zu subtrahieren, gleich Null zu setzen und x zu bestimmen.

Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten:

1)

x² fällt weg, die Gleichung ist linear, es gibt keinen Berührpunkt.

2)

x² fällt nicht weg, die quadratische Gleichung hat keine, eine oder zwei Lösungen

Keine Lösung → Es gibt keine gemeinsamen Punkte.

Eine (doppelte) Lösung → Es gibt einen Berührpunkt.

Zwei Lösungen → Die Parabeln schneiden sich.

:-)

Eine kleine Animation:

Gelb dargestellt ist die Differenzfunktion, die genau eine Nullstelle besitzt.

https://www.desmos.com/calculator/7es4iwboyo

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Danke für die Antwort, kannst du mir es noch besser erklären bitte.