Interpretation der W-Fkt.

Question

Aufgabe: Verständnisfrage zu Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Problem/Ansatz: Kann es sein, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen als Radon-Nikodym Ableitung von der Verteilung bzgl. des Zählmaßes betrachtet werden kann?

An sich muss ich ja zeigen, dass $$F_x(A)=\int_A p_x(x) d\mu(x)= \sum_{a\in\mathbb{N}\cap A}p_x(a)$$

gilt. Wobei p_x die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Zähldichte) von der Verteilung von X F_X ist.

Comments

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Hallo, ich weiß leider nicht wie ich meine eigenen Fragen bearbeiten kann. Kannst du mir erklären wie das geht, dann kann ich meine Frage präziser stellen und evtl die Lösung ergänzen?

Die Frage hat sich nämlich inzwischen für mich geklärt. Es ist tatsächlich so, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Zähldichte) p_x einer diskreten Zufallsvariable die Radon Nikodym Ableitung der Verteilung von X (=F_x) bzgl. des Zählmaßes auf dem zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum ist.

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Jede diskrete Verteilung lässt sich als Konvexkombination von Dirac-Maßen verstehen, wenn du das meinst.

Betrachte den Fall, dass \( \Omega \) abzählbar ist. Wie in Bemerkung 0.35 ausgeführt existiert dann eine abzählbare Familie \( \left(A_{i}\right)_{i \in I} \) von Atomen der \( \sigma \)-Algebra \( \mathcal{A} \). Wenn \( \nu \ll \mu \), dann ist die Abbildung

\( h(\omega)=\sum \limits_{i \in I, \mu\left(A_{i}\right)>0} \frac{\nu\left(A_{i}\right)}{\mu\left(A_{i}\right)} 1_{A_{i}}(\omega) \)
eine Version der Radon-Nikodym-Ableitung von \( \nu \) bzgl. \( \mu \).