Berechnen Sie den Gradienten von f im Punkt P und zeichnen Sie den Gradientenvektor in Ihre Zeichnung!

Question

Text erkannt:

\( f(x, y)=\sqrt{2 y+x^{2}-3} \)
(a) Skizzieren Sie den Definitionsbereich von \( f \) !
(b) Zeichnen Sie die Niveaulinie der Funktion \( f \) durch den Punkt \( P=(3,-1) \) ! (Bestimmen Sie zuerst das Niveau \( c \) für \( f(x, y)=c \) )
(c) Berechnen Sie den Gradienten von \( f \) im Punkt \( P \) und zeichnen Sie den Gradientenvektor in Ihre Zeichnung! In welcher Beziehung steht der Gradient in Bezug auf die Niveaulinie?
(d) Berechnen Sie die Richtungsableitung von \( f \) im Punkt \( P \) in Richtung des Gradienten!

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Hi, ich kenn mich aus bei den ersten Punkt, hab Schwierigkeiten bei b) mit der Bestimmung von f(x,y)=c wie soll ich das bestimmen und könnt ihr mir bei c) und d) helfen?Danke im Voraus!

Answer 1

\( \sqrt{2 y+x^{2}-3} = c \) geht nur für c≥0 und dann kann man quadrieren

          \( 2 y+x^{2}-3 = c^2  \)

          \( y =  -0,5x^{2}  +1,5+0,5c^2  \)

Also ist die Niveaulinie immer eine nach unten geöffnete Parabel

mit Scheitel auf der y-Achse bei 1,5+0,5c^2.

Also berechne f(3;-1)=√(-2+9-3)=2 und du hast im Punkt \( P=(3,-1) \)

die Niveaulinie mit c=2, also die Parabel mit y=-0,5x^2 +3,5.

~plot~ -0,5*x^2+3,5 ;{3|-1}~plot~

c) Gradient ist doch immer der Vektor mit den partiellen Ableitungen

\(  grad_P (f)=\begin{pmatrix} f_x(3;-1)\\f_y(3;-1) \end{pmatrix} \)

Vergleiche auch

https://www.mathelounge.de/199038/gradientenvektor-im-punkt-und-richtungsableitung-x-2-y-2-4-x

Comments

Danke!!  Wie sieht aus bei d)?

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d) Skalarprodukt:  gradient mal gradient