Wieso muss bei der Darstellung von Linearen Abbildungen durch Matrizen immer der Vektor rechts von der Matrix stehen?

Question

Aufgabe:

Wieso muss bei der Darstellung von Linearen Abbildungen durch Matrizen immer der Vektor rechts von der Matrix stehen?

Problem/Ansatz:

es heißt ja immer dass eine lineare Abbildung f durch beispielsweise A*x (A Matrix, x Vektor) ausgedrückt werden kann. Und A*x ist ja auch nicht das Gleiche wie x*A. Aber was sagt mir, dass der Vektor immer rechts von der Matrix steht?

Comments

dass der Vektor immer rechts von der Matrix steht

Dort steht nicht der Vektor selbst, sondern seine Koordinatendarstellung bezüglich einer gewissen Basis B (und auch die Matrix-Darstellung der Abbildung ist basis-abhängig). Und da es eine Konvention ist, solche Koordinatenvektoren spaltenweise zu schreiben, ergibt sich zwangsläufig das Matrizenprodukt A·x als Produkt einer n×n mit einer n×1 Matrix, damit das Ergebnis wieder ein Spaltenvektor, also eine Matrix der Form n×1 ist. Die Konvention hätte auch genausogut anders herum ausfallen können, wenn man Koordinatenvektoren konsequent als Zeilenvektoren schreiben wollte. Einen mathematischen Grund für die vorgenommene Wahl gibt es nicht.
Durch Transponieren sieht man, dass  A·x = y mit Spaltendarstellungen von x und y gleichwertig ist zu x^T·A^T = y^T wobei x^T und y^T dann Zeilenvektoren, also Matrizen der Form 1×n sind.

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Edit : Die Matrix A muss nicht notwendigerweise quadratisch sein, sondern hat, wenn n die Dimension des Vetorraumes X (x∈X) und m die Dimension des Bildraumes Y (y∈Y) ist, die Form m×n .

Answer 1

Wenn x ein Spaltenvektor ist, kannst du ihn nicht von links mit A multiplizieren -

lul