Zeige injektiv surjektiv bijektiv

Question

Aufgabe:

Seien X,Y,Z Mengen, f : X → Y,g : Y → Z Funktionen. Sei h die Verkettung dieser Funktionen, also h(x) = g(f(x)). Zeigen Sie:
(1) Wenn f und g surjektiv sind, so ist h surjektiv.
(2) Wenn f und g injektiv sind, so ist h injektiv.
(3) Wenn f injektiv und g surjektiv ist, so muss h weder injektiv noch surjektiv
sein.

Answer 1

Seien X,Y,Z Mengen, f : X → Y,g : Y → Z Funktionen. Sei h die Verkettung dieser Funktionen, also h(x) = g(f(x)). Zeigen Sie:

(1) Wenn f und g surjektiv sind, so ist h surjektiv.

Angenommen h nicht surjektiv, dann gibt z∈Z so, dass

für alle x∈X gilt   h(x)≠z.

Da g surjektiv ist, gibt es y∈Y mit g(y)=z.

Da f surjektiv ist gibt es x∈X mit f(x)=y.

Dann ist aber h(x)=g(f(x))=g(y)=z. Widerspruch!

So zeigst du auch 2 durch Widerspruch.