Wie fang ich sowas an... (Interpolation mit kubischen Splines)

Question

Zu einer gegebenen Funktion f ∈ C¹ ([a, b]) und einer Zerlegung a = x₀ < x₁ < · · · < x_m = b, m ≥ 2 sei s ∈ C¹ ([a, b]) eine Spline mit folgenden Eigenschaften:

• s(x_i) = f(x_i), für i = 0, . . . , m

• s′(x_i) = f′(x_i), für i = 0, . . . , m.

• s ist ein Polynom vom Grad 3 in [x_i−1, x_i], i = 1, 2, . . . , m.

In jedem [x_i−1, x_i] suchen wir nach einer Lösung s in der folgenden Form:

\( c_{0}^{i}+c_{1}^{i}(x-x_{i-1})+c_{2}^{i}(x-x_{i-1})^2+c_{3}^{i}(x-x_{i-1})^3 \)   \( x\in[x-x_{i-1}] \)

Berechnen Sie die Koeffizienten \( c_{0}^{i},c_{1}^{i},c_{2}^{i},c_{3}^{i} \) anhand der Bedingungen dieses Splines

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Ahnung wie ich sowas anfange? Stehe irgendwie auf dem Schlauch...

Answer 1

Hallo

bekannt ist für das gesuchte Polynom der Wert für x=x_i und x=x_i-1. ebenso die Ableitungen also hast du 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten c₀ bis c₃

also einfach stur einsetzen und das  linearen GS lösen.

Gruß lul

Comments

Hallo,
bis jetzt habe lediglich herausgefunden:
\( c_{0}^{i} \) = f(x_i-1)

\( c_{1}^{i} \) = f´(x_i-1)

Bevor ich weiter mache, so etwa?

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Hallo

ja ,genau richtig. solange f und die xi allgemein sind werden die 2 nächsten noch die Stützstellen enthalten. Oder ist f und xi als Zahlen gegeben?

Gruß lul

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Alles klar Chef! Danke

Oder ist f und xi als Zahlen gegeben?

Nein leider nicht.. :(

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Ja, genau so.

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Hi, hab ein kleines Problem, wenn ich c₂ und c₃ berechnen möchte, sind diese immer von einander abhängig. Wenn ich allerdings ineinander einsetze bekomme ich keine Lösung. Stelle ich mich nur doof an oder ist der Ansatz falsch?
\( s´(x_{i})=f´(x_{i})=f´(x_{i-1})+2c_{2}^i(x_i-x_{i-1})+3c_{3}^i(x_i-x_{i-1})^2 \)
daraus folgt
\( c_2^i=\frac{f´(x_{i})-f´(x_{i-1})-3c_{3}^i(x_i-x_{i-1})^2}{2(x_i-x_{i-1})} \)

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Hallo

du hast doch noch s(xi) nicht verwendet, dann hast du 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten c2 und c3

lul

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c₂ und c₃ sind ja riesig

Answer 2

Da gibt es unterschiedliche Ansätze. Je nach dem wie viel man rechnen will.

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/446699

Man kann einfach ein Standardpolynom ansetzen, siehe Kapitel 2,3,4 und man erhält eine 4m x 4m Matrixgleichung. Oder man wählt den gezeigten Ansatz und liest im Wikipedia nach oder man lehnt sich an den Entwurf

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/xgbkzfmp

an - basiert auf den Seiten von Arndt Brünner und führt auf eine (m-1) x (m-1) Matrixgleichung.

Dieses Beispiel erscheint mir persönlich sehr gut nachvollziehbar...

Damit man was zum Rechnen hat müsstest Du aber die Stützstellen bekannt geben?

Comments

Hallo @wächter,
erstmal danke für deine Antwort! <3 Doch sind in dieser Aufgabe leider keine Stützstellen gegeben. :(

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Das passt hier nicht. Hier hat man nur ein 4x4-LGS. Weil wir kein übliches Spline-Problem haben, bei dem nur die Knoten (x_i,f(x_i)) gegeben sind. Hier sind pro Intervall 4 Gleichungen gegeben, daher kann man die Parameter separat pro Intervall ausrechnen.