a • c ≡ b • c (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m)

Question

Aufgabe: Begründen Sie Ihre Beurteilungen, durch einen Beweis, über die Definition von Modulo oder der Teilbarkeit (dann wahr, falsch)

Aufgabe 1) Sei m ∈ ℙ. Dann gilt: a • c ≡ b • c (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m).
Problem/Ansatz:
Ich verstehe nicht mehr was ab Schritt 3. gemacht wurde. Bitte um Erklärung, warum ...+ (c - c) b} nun dazukommt usw.

1. es gelte ac ≡ bc (mod m)
2. => m | (ac - bc)
3. => m | {(a - b) c + (c - c) b}
4. => m | (a - b) c und m | 0

5. => es existiert t ∈ N mit m * t = 0
da t != 0 und m = 0 ist dies ein Widerspruch und die Behauptung ist falsch

Comments

da t != 0 und m != 0 ist dies ein Widerspruch und die Behauptung ist falsch (Korrektur)

Answer 1

warum ...+ (c - c) b} nun dazukommt

Weil es darf.

(c - c) b ist 0 und 0 darf zu jeder Summe hinzukommen ohne das sich etwas ändert.

m | (a - b) c und m | 0

Jede Zahl ist ein Teiler von 0. Und dass m ein Teiler von (a-b)·c ist, folgt direkt mittels Ausklammern aus m | (ac - bc). Dazu braucht man das Fass mit dem + (c - c) b nicht aufmachen.

5. => es existiert t ∈ N mit m * t = 0
da t != 0 und

Entweder die 0 ist eine natürliche Zahl. Dann kann t ≠ 0 nicht geschlussfolgert werden.

Oder die 0 ist keine natürliche Zahl. Dann kann "es existiert t ∈ N mit m * t = 0" nicht geschlussfolgert werden.

Spätestens ab hier ist der "Beweis" Blödsinn.

und die Behauptung ist falsch

Das die Behauptung falsch ist, zeigt man indem man Werte für a, b, c und m angibt, so dass

        \(a·c \not\equiv b·c \mod m\)

ist.

Übrigens ist die Behauptung nur für \(c=0\) flasch.