Beschränkte Menge, greensche Formel anwendbar?

Question

Aufgabe:

Hallo, leider weiß ich nicht wie ich bei der Aufgabe fortfahren könnte, ist es möglich die Greensche Formel anzuwenden?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei \( \Omega \) eine beschränkte Menge im \( \mathbb{R}^{3} \) mit glattem Rand \( \partial \Omega \). Für eine Funktion \( u: \bar{\Omega} \rightarrow \mathbb{R} \) gilt
\( \left\{\begin{array}{lll} -\Delta u(\mathbf{x})+u(\mathbf{x}) & =0, & \mathbf{x} \in \Omega, \\ (\operatorname{grad} u \cdot \mathbf{N})(\mathbf{x})=1, & \mathbf{x} \in \partial \Omega, \end{array}\right. \)
wobei \( \mathbf{N} \) das normierte äußere Normalenvektorfeld ist. Zeigen Sie, dass für die Energie
\( E:=\int \limits_{\Omega}\|\operatorname{grad} u\|^{2}+|u|^{2} \mathrm{~d} \mathbf{x}=\int \limits_{\partial \Omega} u \mathrm{~d} \sigma \)
gilt, d.h. sie ist gerade das Oberflächenintegral der Funktion über den Rand \( \partial \Omega \).

Answer 1

Es ist eine direkte Anwendung der 1. Greenschen Identität :

In der im Link zu findenden Formel ersetzt du $$\phi = \psi = u$$.

Dann gilt: $$\int_\Omega ||\operatorname{grad} u||^2 + u^2\: dx = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla u + u\, \underbrace{\Delta u}_{=u} dx \stackrel{Green}{=}\int_{\partial\Omega}u\,\underbrace{\frac{\partial u}{\partial N}}_{=1}\,d\sigma$$