Grenzwerte von Funktionen kompliziert

Question

Aufgabe:

Wir sollten in unserer Hausaufgabe überprüfen, ob Grenzwerte vorherrschen und wenn ja, welche.

Bei diesen drei Aufgaben hatte ich leider keine Lösung und ich würde mich freuen, wenn sie mir jemand ausführlich erläutern würde.

1.Lim->2 x²-4/x-2

2.

3.

Text erkannt:

$\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f: R \rightarrow \mathbb{R}$

Comments

Leider wusste ich nicht, wie ich die Sachen richtig eingeben muss, deswegen die Bilder

---

1.Lim->2 x²-4/x-2

Ich nehme an, Du meinst nicht das, was dort steht $x^2-\frac{4}{x}-2$ sondern die $-2$ steht im Nenner und das $x^2$ im Zähler des Bruchs$$\lim\limits_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$$Ansonsten kann man (sehr) schwach erkennen:

2.) $$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2+x}-x$$

3.)$$\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f: \space \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad f(x)=\begin{cases} x& \text{falls}\space x\lt 1\\ x^2-1 &\text{falls}\space x \gt 1\end{cases}$$stimmt das so?

---

Ja, richtig. Vielen Dank

---

Hast du eine Idee?

---

Die Bilder haben bei mir tief-dunkelblaue Schrift auf schwarzem Hintergrund...

---

Werner Salomon hat es doch netterweise verschriftlicht.

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Verwende die dritte binomische Formel und kürze dann:$$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{(x+2)\pink{(x-2)}}{\pink{(x-2)}}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=2+2=4$$

zu 2) Erweitere den Bruch so, dass du die dritte binomische Formel anwenden kannst:$$\small\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)\pink{(\sqrt{x^2+x}+x)}}{\pink{(\sqrt{x^2+x}+x)}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x})^2-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}$$$$\qquad=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pink{\frac1x}\cdot x}{\pink{\frac1x}\cdot\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}$$$$\qquad=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}}+1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac12$$

zu 3) Wenn ich das richtig sehe, soll der Grenzwert gegen $(1^+)$ bestimmt werden. Das ist der Fall, wenn man sich dem Wert $x=1$ vom Bereich $x>1$ aus nähert. Also greift der untere Teil der Definition von $f(x)$:$$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}(x^2-1)=1^2-1=0$$Beachte, dass für den Grenzwert gegen $(1^-)$ der obere Teil der Definition gelten würde, so dass dieser Grenzwert $1$ wäre. Da der links- und rechtsseitige Grenzwert für $x\to1$ unterschiedlich sind, kann gibt es keinen Grenzwert $x\to1$. Aber dieser ist ja auch nicht gefragt ;)

Answer 2

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$ Hier ist eine hebbare Definitionslücke:

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$

Answer 3

2. Erweitere mit √(x²+x)  +x und kürze mit x.