gib die gleichung der funktion v an

Question

Die Beschleunigung eines Autos kann durch die Funktion a beschrieben werden:
a(t) = 1/225 • (30t - t²) mit 0 =< t =< 30
*... Zeit in Sekunden, a(t)... Beschleunigung zur Zeit t in m/s²
1) Stelle die Funktion a grafisch dar.
2) Veranschauliche ₅²⁰∫a(t) in der Grafik und interpretiere die Bedeutung dieses
Integrals im gegebenen Sachzusammenhang.
3) Die Geschwindigkeit (in m/s) kann durch eine Funktion v beschrieben werden. Gib
eine Gleichung der Funktion v an, wenn v(0) = 0 gilt.
4) Begründe anhand der Funktionsgleichung von a, warum die Geschwindigkeit im
Intervall [0; 30] zunimmt.

Answer 1

1.

das ist die Beschleunigung

2.

das Fzg. beschleunigt immer stärker mit dem Maximum bei t=15 s, bei t=20 s beschleunigt das Fzg. immer noch aber nicht mehr so stark.

3.

die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung. Zeig 'mal dein Resultat.

4.

solange die Beschleunigung positiv ist, nimmt auch die Geschwindigkeit zu.

Answer 2

Ich nehme an, dass du weißt, dass die Beschleunigung die Änderrungsrate (=Ableitung) der Geschwindigkeit ist. Folglich erhalten wir aus der Aufgabenstellung die folgenden Informationen:

1. \( v'(t) = a(t) \), also \( v'(t) =  \frac{1}{225} \cdot (30t - t^2) \).

2. \( v(0) = 0 \).

DIese beiden Gleichungen bilden ein Anfangswertproblem 1. Ordnung, lösen dessen liefert die gesuchte Funktion v. Ich empfehle dir das erstmal selbst zu versuchen, da solche Aufgaben sehr beliebt in Klausuren sind. Falls es nicht klappt, oder du auf Probleme stößt, meld dich gerne nochmal. Wenn du dir unsicher bezüglich der Korrektheit deiner Lösung bist, kannst du diese mit Wolframalpha (oder einem CAS deiner Wahl) abgleichen.

Viel Glück!

Answer 3

Zeige

v(t) = 1/675·(45·t^2 - t^3) mit 0 ≤ t ≤ 30

ist Stammfunktion von a(t) und erfüllt die Bedingung v(0) = 0.

Kannst du selber auch das Integral von a(t) bilden? Wenn nicht woran scheiterst du?