Grenzwert von Folge bestimmen mit Fakultät und exp

Question

Aufgabe:

Gebe an ob die Folge konvergiert oder divergiert (bestimmt oder unbestimmt)

\( (a_n)_{n \in \mathbb{N}}=  \frac{e^{5n}+2^n}{n!+2n^2} \)

Problem/Ansatz:

Also ich hab das jetzt in Wolfram eingetippt und dort wird mir 0 ausgegeben, aber die Graphen sehen so aus als würde der Zähler schneller wachsen.

Ich hab auch irgendwie hier keine Ahnung wie ich da am besten vorgehen soll, da ja L Hospital mit n! nicht viel bringt...

Danke im Voraus für die Hilfe !

Comments

Also e^5n ist doch schneller als n! also ist doch der Zähler schneller

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Diese Vermutung trifft nur für kleine n zu. Beim Übergang von n zu n+1 wird e⁵ⁿ mit e^5 multipliziert, n! hingegen mit (dem irgendwann größeren) n+1.
Lösungshinweis : Zeige, dass a_n < b_n und Σb_n konvergent für ein geeignetes b_n.

Answer 1

Kennst du die Stirlingformel für die Fakultät, setz die für große n ein, die +2n^2 kannst du dabei einfach weglassen, auch die 2^n im Zähler spielen keine Rolle.

Gruß lul